連續小波變換的概念、操作、及時間尺度圖的顯示
最近很多網友問到關於連續小波變換的諸多問題，我用了點時間，寫了個底層程序，提供給大家參考。
1。連續小波的概念。就是把一個可以稱作小波的函數（從負無窮到正無窮積分為零）在某個尺度下與待處理信號卷積。改變小波函數的尺度，也就改變了濾波器的帶通范圍，相應每一尺度下的小波系數也就反映了對應通帶的信息。本質上，連續小波也就是一組可控制通帶范圍的多尺度濾波器。
2。連續小波是尺度可連續取值的小波，里面的a一般取整數，而不像二進小波a取2的整數冪。從連續小波到二進小波再到正交離散小波，其實就是a、b都連續，a不連續、b連續，a、b都不連續的過程。操作他們的快速算法也就是卷積(快速傅里葉)，多孔(a trous)，MALLAT。在MATLAB里，也就是CWT，SWT，DWT。SWT稱平穩小波變換、二進小波變換、或者非抽取小波變換。
3。從冗余性上：CWT>SWT>DWT，前面兩個都冗余，后面的離散小波變換不冗余。
4。從應用上：CWT適合相似性檢測、奇異性分析；SWT適合消噪，模極大值分析；DWT適合壓縮。
5。操作。就是在某個尺度上得到小波的離散值和原信號卷積，再改變尺度重新得到小波的離散值和原信號卷積。每一個尺度得到一個行向量存儲這個尺度下的小波系數，多個尺度就是一個矩陣，這個矩陣就是我們要顯示的時間-尺度圖。
6。顯示。“不要認為工程很簡單”。我的一個老師說過的話。小波系數的顯示還是有技巧的。很多人畫出的圖形“一片烏黑”就是個例子。第一步，一般將所有尺度下的小波系數取模；第二步，將每個尺度下的小波系數范圍作映射，映射到你指定MAP的范圍，比如如果是GRAY，你就映射到0-255；第三步，用IMAGE命令畫圖；第四步，設置時間和尺度坐標。MATLAB是個很專業的軟件，它把這些做的很好，但也就使我們懶惰和糊塗，我是個好奇心重的人就研究了下。里面有個巧妙的函數把我說的(1,2)兩個步驟封裝在了一起，就是WCODEMAT，有興趣的同學可以看看。
希望大家深入研究小波。
這里，還有要說的是，小波目前理論的熱點：
1。不可分的小波或者具有可分性質的方向性小波；
2。XLET: CONTOURLET, WEDGELET, SHEARLET, BANDELET, RIDGELET, CURVELET; PLATELET.
3。多分辨率分析+多尺度幾何分析的結合，才真正是我們所需要的。比如小波域的WEDGELET等等。
最后，幾點建議：
1。理論研究和實際應用不同，工程上很多問題小波並不是最好的，在做項目的時候大家要實際情況，實際對待。
2。做研究，有些話題太成熟了，對於小波本身幾乎很難再做下去，要在方向性和幾何性上下功夫。對此，我也做的工作很少，畢竟研究方向轉了。
3。看看DAUBECHIES，MALLAT，Minh N. Do的personal web，特別是preprint的文章，會有些啟發。
4。最終大家還是最好自己提一些新的XLET或算法出來，這樣才是有挑戰性的工作，否則我們永遠是落后的。
5。交叉領域和結合是值得做的，最近R2007也就增加了PCA+WAVELET等內容，還有用小波在數值分析領域求解偏微分等，多尺度現在是個很熱的東西，SIAM為此都開了專門的期刊，這是數值分析最前沿的期刊可以看看。還有ELSEVIER的Applied and Computational Harmonic Analysis，這些雖然數學多了一點，但畢竟才有可能在工程上是“新”的。
大家可以到我的網站下載到.m文件
http://cem.ahu.edu.cn/Freecode/freecode.htm
各位共勉！！！
安徽大學 沙威
2007年9月5日
% 編程人 沙威 安徽大學
% ws108@ahu.edu.cn
function CWT_EXE();
% 多個尺度連續小波變換的實現
clc;clear
% 下載信號
load vonkoch
vonkoch=vonkoch(1:510);
% 尺度1-32的連續小波變換
S_Min=1;S_Max=32;
index=0;
for scale=S_Max:-1:S_Min;
index=index+1;
cwt_coef(index,:)=CWT_FUNCTION(scale,32*(scale),vonkoch);
end
% 小波系數取模
cwtcoef_abs=abs(cwt_coef);
% 顯示
for index=S_Min:S_Max
max_coef=max(cwtcoef_abs(index,:)); % 系數模最大
min_coef=min(cwtcoef_abs(index,:)); % 系數模最小
ext=max_coef-min_coef; % 系數模跨度
cwtcoef_abs(index,:)=64*(cwtcoef_abs(index,:)-min_coef)/ext; % 系數大小變換
end
figure(1)
subplot(2,1,1);
plot(vonkoch);
xlabel('時間')
ylabel('幅度')
title('分形信號')
axis([1 510 0 0.02])
subplot(2,1,2)
colormap(pink(64));
image(cwtcoef_abs)
set(gca,'YTick',2:3:32)
set(gca,'YTickLabel',32:-3:2)
title('連續小波變換時間尺度圖')
xlabel('時間')
ylabel('尺度')
% 某個尺度的連續小波變換的M函數
% delta 小波變換的尺度
% N 小波函數的長度
% s 原始信號
% g 原始信號某個尺度下的小波變換系數
function g=CWT_FUNCTION(delta,N,s);
% 原始信號長度
n=length(s);
% 構造墨西哥帽子小波函數
for index_x=1:N;
x=index_x-(N+1)/2;
phi_x(index_x)=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x.*x/(delta^2))*exp(-(x.*x)/(2*delta^2));
end;
phi_x=phi_x/norm(phi_x); % 能量歸一化
% 對信號做卷積
g=conv(s,phi_x); % 卷積
g=wkeep(g,n); % 保持信號長度
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