小波變換內積定理證明

本博客為之前看小波的筆記。

教材中的證明。

解釋下這個證明。

W_x1(a,b) = <x₁(t), Ψ_ab(t)> = 1/2π<X₁(Ω), Ψ_ab(Ω)>(Parseval 定理)

              = 1/2π∫X₁(Ω)Ψ_ab^*(Ω)dΩ

其中

Ψ_ab(t) = (1/√a)Ψ((t-b)/a)

Ψ(t) →→→→ Ψ(t/a) →→→→ Ψ((t-b)/a) ---- 時域

 ↓                    ↓                       ↓

Ψ(Ω) →→→→ aΨ(aΩ) →→→→ aΨ(aΩ)e^-jΩb ---- 頻域

因此Ψ_ab(t)的Fourier變換為Ψ_ab(Ω) = √aΨ(aΩ)e^-jΩb

W_x1(a,b) = 1/2π∫X₁(Ω)√aΨ(aΩ)e^jΩbdΩ

W_x2(a,b) = 1/2π∫X₂(Ω)√aΨ(aΩ)e^jΩbdΩ

於是有了教材中證明的第一行，注意Wx2(a,b)去共軛哦。W_x2^*(a,b) = 1/2π∫X₂(Ω)√aΨ(aΩ)e^-jΩbdΩ

下面關鍵是∫e^j(Ω-Ω‘)bdb等於什么？

由於公式δ(t) →→→→ 1

1 →→→→ 2πδ(Ω)

e^jΩ't →→→→ 2πδ(Ω-Ω‘)

這里∫e^j(Ω-Ω‘)bdb = ∫e^jΩ'be^-jΩbdb即為e^jΩ'b的Fourier變換2πδ(Ω-Ω‘)此為第三行到第四行的由來。

另外：∫X^*₂(Ω')Ψ(aΩ’)δ(Ω-Ω‘)dΩ‘ = X^*₂(Ω)Ψ(aΩ) 

然后X₁(Ω)Ψ^*(aΩ) X^*₂(Ω)Ψ(aΩ) = X₁(Ω)X^*₂(Ω)|Ψ(aΩ)|² 此為第四行到第五行的由來。

回到教材