算法時間復雜度求解法【詳細過程說明】

　　算法的時間復雜度，是剛開始接觸算法和數據結構時的概念，在真正使用的時候有時候常常忘記它的推導公式。最近准備校招，把二叉樹、排序、查找等這些經典的算法復習了一遍，這次把這些都整理成博客以便以后查看，復習計划接近尾聲，這兩天老是不在狀態，學習圖的時候有點暈乎乎，今天反過頭來把時間復雜度的求解法整理一下，還是頗有收獲，以前很多地方自己存在着理解誤差。希望對大家也有所幫助，有不對的地方還請多指教。

在進行算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化情況並確定T(n)的數量級。算法的時間復雜度，也就是算法的時間量度，基座T（n）=O(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作算法的漸進算法時間復雜度，簡稱為時間復雜度。其中f(n)是問題規模n的某個函數。

一般用大寫O()來表示算法的時間復雜度寫法，通常叫做大O記法。

一般情況下，隨着n的增大，T(n)增長最慢的算法為最優算法。

O(1)：常數階

O(n)：線性階

O(n²)：平方階

 

大O推導法：

1. 用常數1取代運行時間中的所有加法常數
2. 在修改后的運行函數中，只保留最高階項
3. 如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數

 

常數階：

int sum = 0 ; n = 100;        /*執行一次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行一次*/
printf("%d",sum);            /*執行一次*/

這個算法的運行次數f(n) = 3,根據推導大O階的方法，第一步是將3改為1，在保留最高階項是，它沒有最高階項，因此這個算法的時間復雜度為O(1);

另外，

int sum = 0 ; n = 100;        /*執行一次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第1次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第2次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第3次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第4次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第5次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第6次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第7次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第8次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第9次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*執行第10次*/
printf("%d",sum);            /*執行一次*/

 

上面的兩段代碼中，其實無論n有多少個，本質是是3次和12次的執行差異。這種與問題的大小無關，執行時間恆定的算法，成為具有O(1)的時間復雜度，又叫做常數階。

注意：不管這個常數是多少，3或12，都不能寫成O(3)、O(12)，而都要寫成O(1)

此外，對於分支結構而言，無論真假執行的次數都是恆定不變的，不會隨着n的變大而發生變化，所以單純的分支結構（不在循環結構中），其時間復雜度也是O(1)。

 

線性階：

線性階的循環結構會復雜一些，要確定某個算法的階次，需要確定特定語句或某個語句集運行的次數。因此要分析算法的復雜度，關鍵是要分析循環結構的運行情況。

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
  /*時間復雜度為O(1)的程序*/      
}

 

對數階：

int count = 1;
while(count < n){
  count = count * 2;
  /*時間復雜度為O(1)的程序*/    
}

 

因為每次count*2后，距離結束循環更近了。也就是說有多少個2 相乘后大於n，退出循環。

數學公式：2^x = n    -->     x = log₂ⁿ

因此這個循環的時間復雜度為O(logn)

 

平方階：

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = 0 ; j < n ; j++){
    /*時間復雜度為O(1)的程序*/  
    }    
}

 

上面的程序中，對於對於內層循環，它的時間復雜度為O(n)，但是它是包含在外層循環中，再循環n次，因此這段代碼的時間復雜度為O(n²)。

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = 0 ; j < m ; j++){
    /*時間復雜度為O(1)的程序*/  
    }    
}

 

但是，如果內層循環改成了m次，時間復雜度就為O(n*m)

 

再來看一段程序：

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = i ; j < n ; j++){
    /*時間復雜度為O(1)的程序*/  
    }    
}

 

注意：上面的內層循環j = i ;而不是0

因為i = 0時，內層循環執行了n次，當i=1時，執行了n-1次……當i=n-1時，執行了1次，所以總的執行次數為：

n+(n-1)+(n-1)+...+1 = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂  =  n²/₂ + _ⁿ/₂

根據大O推導方法，保留最高階項，n²/₂ ，然后去掉這個項相乘的常數，1/2

因此，這段代碼的時間復雜度為O(n²)

 

下面，分析調用函數時的時間復雜度計算方法：

首先，看一段代碼：

int i,j;

void function(int count){
  print(count);  
}

for(i = 0 ; i < n ; i++){
  function (i)  
}

 

函數的時間復雜度是O(1)，因此整體的時間復雜度為O(n)。

假如function是這樣的：

void function(int count){
  int j;
  for(j = count ; j < n ;j++){
        /*時間復雜度為O(1)的程序*/
 }
}

 

和第一個的不同之處在於把嵌套內循環放到了函數中，因此最終的時間復雜度為O(n²)

 

再來看一個比價復雜的語句:

n++;                                      /*執行次數為1*/
function(n);                              /*執行次數為n*/
int i,j;
for(i = 0 ; i < n ; i++){                 /*執行次數為nXn*/
  function(i);  
}
for(i = 0 ; i < n ; i++){                /*執行次數為n(n+1)/2*/
  for(j = i ; j < n ; j++){
      /*時間復雜度為O(1)的程序*/  
  }  
}    

 

它的執行次數f(n) = 1 + n + n² + ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ + ³/₂n²+³/₂ n+1,

根據推導大O階的方法，最終它的時間復雜度為：O(n²)

 

常見的時間復雜度：

執行次數函數	階	術語描述
12	O(1)	常數階
2n+3	O(n)	線性階
3n2+2n+1	O(n2)	平方階
5log2n+20	O(log2n)	對數階
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlog2n階
6n3+2n2+3n+4	O(n3)	立方階
2n	O(2n)	指數階

 

 

 

 

 

 

 

 

時間復雜度所耗費的時間是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) <O(2ⁿ) < O(n!) <O(nⁿ)