OpenGL投影矩陣

本文轉載自查看原文 2014-08-20 21:18 6303

概述
透視投影
正交投影

概述

計算機顯示器是一個2D平面。OpenGL渲染的3D場景必須以2D圖像方式投影到計算機屏幕上。GL_PROJECTION矩陣用於該投影變換。首先，它將所有定點數據從觀察坐標轉換到裁減坐標。接着，這些裁減坐標通過除以w分量的方式轉換到歸一化設備坐標（NDC）。

因此，我們需要記住一點：裁減變換（視錐剔除）與NDC變換都保存在GL_PROJECTION矩陣中。下述章節描述如何從6個限定參數（左、右、下、上、近平面、遠平面）構建投影矩陣。

注意，視錐剔除（裁減）在裁減坐標上執行，並且在除以w_c之前。裁減坐標x_c、y_c、z_c會與w_c做比較檢測。如果任一坐標小於-w_c或大於w_c，則該頂點將會拋棄。

接着，OpenGL重新構建那些裁減掉的多邊形的邊。

被視錐裁減的三角形

透視投影

OpenGL透視視錐體與NDC

在透視投影中，截棱錐體（觀察坐標）中的3D點會被映射到立方體（NDC）中。x坐標的范圍從[l,f]到[-1,1]，y坐標的范圍從[b,t]到[-1,1]，z坐標的范圍從[n,f]到[-1,1]。

注意，觀察坐標為右手坐標系，NDC使用左右坐標系。也就是說，位於原點的照相機在觀察坐標中看向-Z軸，而在NDC中看向+Z軸。因為glFrustum()只接收正的近平面與遠平面距離值，我們需要在構建GL_PROJECTION矩陣時對他們取反。

OpenGL中，觀察空間中的3D點被投影到近平面（投影平面）上。下圖展示觀察空間中的點(x_e,y_e,z_e)如何投影到近平面上的點(x_p,y_p,z_p)。

視錐體的俯視圖

視錐體的側視圖

從視錐體的俯視圖看出，使用相似三角形比率計算方式將觀察空間的x坐標x_e被映射到x_p。

從視錐體的側視圖看出，y_p也使用相同的方式計算出：

注意，x_p與y_p二者都依賴於z_e，它們與-z_e成反比例。也就是說，它們都被-z_e除。這是構建GL_PROJECTION矩陣的第一點提示。在觀察坐標通過與GL_PROJECTION矩陣相乘變換之后，裁減坐標依舊是其次坐標。它最終通過除以裁減坐標的w分量才變成歸一化設備坐標（NDC）。（更詳細描述參考OpenGL變換。）

因此，我們可以將裁減坐標的w分量設置為-z_e。這樣，GL_PROJECTION矩陣的第四行變為(0,0,-1,0)。

接着，我們通過線性關系將x_p與y_p映射到NDC中的x_n與y_n：[l,r]=>[-1,1]，[b,t]=>[-1,1]。

映射x_p到x_n

映射y_p到y_n

然后,我們用上面的方程式替換x_p與y_p。

注意，我們為透視除法（x_c/w_c, y_c/w_c）將每個等式相被-z_e整除。前面我們已經將w_c設置為-z_e，大括號中的項為裁減坐標中x_c與y_c。

從這個等式，我們可以發現GL_PROJECTION矩陣的第一與第二行。

現在，我們僅僅解決GL_PROJECTION矩陣的3行。由於觀察空間中的z_e總是投影到近平面上的-n點，z_n的計算方法與其他坐標的計算方法有稍許不同。不過我們需要唯一的z值來進行裁剪與深度測試。此外，我們也會進行逆投影（逆變換）操作。因為，我們知道z並不依賴於x與y的值，我們借助w分量找尋z_n與z_e之間的關系。因此，我們可以像這樣指定GL_PROJECTION矩陣的第三行：

在觀察空間，we等於1。因此，等式變為：

為了計算系數A與B，我們使用(ze,zn)關系式(-n,-1)與(-f,1)，且將它們帶入到上述等式。

為了求解A與B，重寫等式(1)：

將等式(1')帶入等式(2)，然后求解A：

將A帶入等式(1)中，求出B：

我們解出A與B。因此z_e與z_n的關系變為：

最后，我們解出GL_PROJECTION矩陣的所有元素。完整的投影矩陣為：

OpenGL透視投影矩陣

該投影矩陣為通用截面體。如果視錐體為對稱的，即r=-l且t=-b，則矩陣可簡化為：

在開始后面講述之前，請回顧z_e與z_n之間的關系：等式(3)。你會注意到它是一個有理數方程且z_e與z_n並非線性關系。也就是說近平面具有非常高的精度，而遠平面的精度很低。如果[-n,-f]的范圍變得很大，會引起深度精度問題（深度沖突）：遠平面附近z_e的小變化不會影響z_n值。為了最小化深度緩存精度問題，n與f的距離應該盡可能小。