as+bt=1是ab兩數互質的充要條件

【as+bt=1是ab兩數互質的充要條件】

　充分性，as+bt=1 => (a,b)=1：

　　　因為as+bt=1,設c=(a,b),則c整除a和b,所以c整除as+bt,即c整除1,所以c=1,即a和b互質

　必要性，(a,b)=1 => ab+bt=1：

　　　考慮非空集合A={as+bt│s,t為任意整數},不妨設a0是A中最小正整數且a0=as0+bt0,y是A中任意一個元素，

　　　由帶余除法 y=as+bt=q(as0+bt0)+r,0<=r<a0,則r=a(s-qs0)+b(t-qt0)屬於A，若r非零則r是A中比a0更小之正整數，矛盾，所以r=0，從而a0整除y。

　　　因為a0整除y，所以 (as+bt)/a0 = q。＝> as/a0+bt/a0 = q。s、t為任意值，而q必然為整數，則as/a0、bt/a0必須是整數。則有a0整除a,a0整除b,所以a0整除(a,b)=1,因此a0=1,所以存在整數s0和t0使得as0+bt0=1

參考：http://zhidao.baidu.com/question/69395532.html?qbl=relate_question_0&word=as%2Bbt%20%3D%20%28a%2Cb%29

【貝祖定理（裴蜀定理）】

　　有整數解時當且僅當m是d的倍數。d是(a,b)。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解、都稱為裴蜀數。在前部分證明的基礎上，

　　對  和  的任意正公約數，設 、 ，那么

　　

　　因此 。所以  是  和  的最大公約數。

參考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%9D%E7%A5%96%E7%AD%89%E5%BC%8F