1.禪師和青年之間的對話
2.制作一個莫比烏斯帶
3.神奇的莫比烏斯帶
4.對莫比烏斯帶進行簡單的數學建模
1.禪師和青年之間的對話
青年問禪師：“大師，我很愛我的女朋友，她也有很多優點，但是總有幾個缺點讓我非常討厭，有什么什么方法能讓她改變？” 禪師淺笑，答：“方法很簡單，不過若想我教你，你需先下山為我找一張只有正面沒有背面的紙回來。” 青年略一沉吟，掏出一個麥比烏斯環。
大師說，“剛才說的不算，你要找到一個沒有里外的瓶子才行”。年輕人又默默的從懷里掏出了一個克萊因瓶。
2.制作一個莫比烏斯帶
其實，可以自己做一個莫比烏斯帶，只需要那一個紙條，然后旋轉180度，最后"粘合"兩個兩端，就成了一個莫比烏斯帶。如下：
旋轉180度后，粘合紙片的兩端，形成一個莫比烏斯帶，如下：
3.神奇的莫比烏斯帶
莫比烏斯帶，有許多神奇的特性，比如用一個剪子從紙片的二分之一處一直剪到尾部，最終是會形成兩個分離的莫比烏斯帶還是?老實說，我第一次是一位會分離成兩個獨立的莫比烏斯環。
結果是，剪開會最終還是一個完整的環，並且這個新的環不是莫比烏斯帶，而是一個旋轉了360度的環。其實可以親手做一下，只是由於手上沒有剪刀不容易演示這個。
如果此時在沿着這個新的環中間剪開，會發現，竟然形成了兩個環，並且其中的一個套着另一個，太不可思議了....
更神奇的是，對於一個莫比烏斯環，如果不從中間剪開，而是從三分之一處剪開，結果竟然是......可以親自試一下。
4.對莫比烏斯帶的簡單建模
一個紙片，經過某種變形之后，形成了一個新的圖形，莫比烏斯帶。
對莫比烏斯帶進行完整的建模需要用到許多拓撲學里面的概念，譬如等價關系，等價類，商集，拓撲空間，拓撲變換，商空間等等，因此下面只是一個簡單的建模，有助於形象化理解。OK， 開始抽象吧。
1)對紙片抽象
由於紙片是一個物理實體，不方便對他進行數學描述。因此，可以考慮將紙片放到一個二維笛卡爾坐標系里面進行研究，這樣，一個紙片實際上就是笛卡爾坐標系里面的一些點的集合，此時，我們就可以用諸如(x,y)這樣的數學符號來描述了。同時，為了研究的方便，先從最簡單的情況入手，使用一個變成為1的正方形來代替紙片，如下：
現在考慮怎么將這個正方形變換成一個莫比烏斯帶(嚴格的說並不正確，因為莫比烏斯帶只能在三維空間里面觀看。這里是從拓撲學的角度來看的，既將正方形變換成了一個新的拓撲空間(商空間)，這個新的拓撲空間具有和莫比烏斯帶一樣的性質，既這個新的拓撲空間和莫比烏斯帶同胚，同時，由於這是一個拓撲空間，所以我們不關於這個拓撲空間的大小，形狀等因素，這就是拓撲學的好處，對問題進行了高度的抽象，從而使你只關心問題本身，而不忽略掉其他次要的外界因素)
2.對變換進行抽象
注意:這里的變換就是拓撲學里面的一個等價關系
要將上述圖形變換成一個莫比烏斯帶，只需將(0,1)和(1,0)兩點看成一個點，將(0,0.9)和(0.9,0)看成一個點... ... 將(0,0)和(1,1)看成一個點。發現了這個規律之后，我們將這個規律一般化，就是將(0,y)和(1，1-y)看成粘合成一個點。
3.結果
變換后的結果就是一個莫比烏斯帶(和莫比烏斯帶同胚的一個拓撲空間)