在講這個函數之前。最好先了解歐拉函數。
我們用 \ 記為整除。 記得小學的時候整除和整除以的概念么？別混淆。 2整除4 記作 2\4。
歐拉函數用
來表示。
那么根據法里級數的展開(這個感覺和ACM關系不大就先不介紹了。大概講的就是構造所有最簡分數的一種樹。而法里級數n定義分母<=n的最簡分數。)
比如對於分母為12.
化簡后:
分別為:
1/12 1/6 1/4 1/3 5/12 1/2 7/12 2/3 3/4 5/6 11/12 1/1
觀察這些式子。你會發現分母都是能整除12的.也就是說分母為d。 d\m
分母為1的集合 1/1
分母為2的集合 1/2
分母為3的集合 1/3 2/3
分母為4的集合 1/4 3/4
分母為6的集合 1/6 5/6
分母為12的集合 1/12 5/12 7/12 11/12
會發現對於每個m的除數(也就是分母啦)的集合的分子都是和分母是互素的。並且窮舉了。
比如4 1 和 3 是和4互素的。
那么
1+1+2+2+2+4 = 12 (其實這里是廢話！在推導中間就能得到了。因為我們列了12個分式嘛，重點在於是窮舉了每個除數的互素數。)
不過我們可以從這得到一個和式:
重點在於這個形式的公式：
有一個結論:如果f(d) 讓g(m)是積性函數。那么f(d) 是積性函數（這個結論很重要。）
同時如果我們能夠證明這個結論的話。也可以通過這個結論去證明歐拉函數的積性。
因為根據上面我們推出的和式。對於歐拉函數的對應g(m)為m.m明顯是積性的函數。
如果我們的結論成立。那么歐拉函數是積性的。(這里的積性不代表完全積性。我們知道歐拉函數的積性必須兩個數互素的情況下才有。)
證明：
因為g(m)為積性函數，所以有：
擴展左邊：
擴展右邊:
即可得:
如果進一步細分左邊和右邊。會發現左邊是
若該等式對於任意m恆成立.那么
根據上面的等式的話就是一個項一個項對應起來。而從這也能看出其逆命題也是正確的。就是當f(d) 為積性函數的時候 g(m)也為積性函數。
在此，歐拉函數的積性就算證明成功了。
對於上述的研究似乎沒有提到莫比烏斯函數。但是以上的研究是貫徹整個莫比烏斯函數的。包括其積性的證明。和反演。
思考一個這樣的問題：
對比
歐拉函數是比較復雜的。而其對應的g(m) 是簡單的。為m。
我們是否可以通過g(m)的函數能夠獲得f(m)的函數呢?(這里f(m)自變量變成m了。不過小小思考后明顯不用在意。)
而我們有這樣的一個反演原理：
其中
為莫比烏斯函數。
莫比烏斯函數滿足一個極其重要的性質。或者說是因為這個性質而定義了這個函數！
其中 [m=1]代表m=1的時候為1. m不等於1的時候為0
這個性質很神奇。但是卻又不神奇。因為其實是認為構造出有這樣的性質。使得莫比烏斯反演得以成立。
但是我們要計算其反演后的結果。我們又不得不知道具體的的值如何。其值我們先放着。先證明反演：
證明反演之前有兩個步驟最好先需要有預備知識：
第一個：
這個其實思考一下就知道了。我們不過就是把計算順序發生了改變。
第二個：
這個和式確實看起來復雜。而且我是直接搬其證明過程中遇到的這個和式。
不過我們從一個例子上去理解:
對於m = 12來說:
| d | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
| m/d | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| k | 1 | 1 2 | 1 3 | 1 2 4 | 1 2 3 6 | 1 2 3 4 6 12 |
μ(12)f(1)
μ(6)f(1)+μ(6)f(2)
μ(4)f(1)+ μ(4)f(3)
μ(3)f(1)+μ(3)f(2)+ μ(3)f(4)
μ(2)f(1)+μ(2)f(2)+μ(2)f(3)+ μ(2)f(6)
μ(1)f(1)+μ(1)f(2)+μ(1)f(3)+μ(1)f(4)+μ(1)f(6)+μ(1)f(12)
+
-----------------------------------------------------------------------------
明顯的求這個式子之和。
我們的排列是以μ的自變量排列的。那假如按f的自變量(k)進行排列呢? 我們上面的式子豎着都已經對應好了。
不難得出下表:(不根據式子。直接跟上)
| d | 12 | 12 6 | 12 4 | 12 6 3 | 12 6 4 2 | 12 6 4 2 1 |
| k | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| m/d | 1 | 1 2 | 1 3 | 1 2 4 | 1 2 3 6 | 1 2 3 4 6 12 |
細心對比上表：
| d | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
| m/d | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| k | 1 | 1 2 | 1 3 | 1 2 4 | 1 2 3 6 | 1 2 3 4 6 12 |
會發現有意思的是m/d和k換了個位置而已。其實這並不是巧合。但是這並不是重點。
我們要用一個式子描述出這種情形。其實我們不過是把式子處理成以k為規整的。
而描述成和式其實就是上述恆等式的右邊：
值得注意的是 d 已經不是原來的d了。只是一個從1開始的循環量而已。一旦滿足d\(m/k) 就有意義。所以我本來第2個表不想統計d的。不過最后還是統計了。出於容易研究吧。
因為我們還得一點細節才能解釋這個恆等式右邊的表達式。
我們有:
k\d
d\m
所以對於指定的k,d的集合為k的倍數。
設l = m/d. (這里的l就是上述表達式的d!)
也就是我們要證明指定k 那么l的集合為 l\(m/k)
l = m/nk. n為整數。 (m/k) / l = n 所以l\(m/k).得證。
也許我的證明有點繁瑣。如果你一眼看出來。那也沒事。
其實就是尋找指定k m/d應該滿足怎么樣的條件。 其中k\d且d\m。
有了這2個恆等式我們可以接下來證明莫比烏斯反演:
證明過程：
PS:
其反證類似的。具體數學中的習題啊。也當作大家的習題好了。
就是第二個恆等式。具體數學中是分了2步。那個用拉斐爾證明的4.9雖然說原理並不難。但是具體數學上用得簡直有點出神入化讓我有點摸不着頭腦。
之后一步是利用第一個恆等式然后證出上述的第二個恆等式。
讓我們看看 具體是一個什么樣的函數。
首先:[m=1]這個函數是積性的。所以μ(d)這個函數必然也是積性的。利用我們一開始證明的那個結論。
也就是說要求μ(m).我們只要計算μ(p^k). 根據算術基本定理理所當然的。且p代表素數。
根據其性質:
m = p^k.
那么有 μ(1)+ μ(p^1) + μ(p^2) + μ(p^3)+...μ(p^k) = [p^k=1].
假如p = 1.(其實1不是素數，我們這樣的假設是不成立的，這里只是為了運算出μ(1))
那么。 μ(1)= 1.
假如p ！= 1.
那么 μ(1)+ μ(p^1) + μ(p^2) + μ(p^3)+...μ(p^k) = 0.
當k=1.
μ(1)+ μ(p^1) = 0
可知μ(p^1)=μ(p)= -1.
當k=2.
μ(1)+ μ(p^1) + μ(p^2) = 0 .
即μ(p^2) = 0
同理。
μ(p^(3~k)) = 0
也就是說。
μ(1) = 1 , μ(p) = -1 , μ(p^k) = 0 (k>=2)
推廣到 m:（m為任意實數）
下面0的情況。是存在p^2整除m.也就是m存在p^2因子的時候。
注意:μ(1) = 1
好了。反演和莫比烏斯的函數我們都理解透徹了。具體應用可以看這里