我們重新回到對單隨機變量分布的研究。描述量是從分布中提取出的一個數值，用來表示分布的某個特征。之前使用了兩個描述量，即期望和方差。在期望和方差之外，還有其它的描述量嗎？
斜度
值得思考的是，期望和方差足以用來描述一個分布嗎？如果答案是可以，那么我們就沒有必要尋找其它描述量的。事實上，這兩個描述量並不足以完整的描述一個分布。
我們來看兩個分布，一個是指數分布:
它的期望為E(x)=1，方差為D(x)=1。
們用Y = 2-X來獲得一個新的隨機變量，及其分布:
該密度曲線與原來的密度曲線關於直線X=1對稱，與原來的分布有相同的期望值和方差.E(x)=1，方差為D(x)=1
我們繪制兩個分布的密度曲線，如下圖:
可以看到，即使期望值和方差保持不變，兩個分布曲線明顯不同。第一條曲線下的面積偏向左，而第二條曲線則向右側傾斜。為了表達分布的這一特征，我們引入一個新的描述量，斜度(skewness)。它的定義如下:
上面兩個分布，第一條曲線向左偏斜，斜度分別為2。另一條曲線的斜度為-2。很明顯，斜度的不同可以帶來差別巨大的分布(即使期望和方差都相同)。
矩
觀察方差和斜度的定義，
都是X的函數的期望。它們的區別只在於函數的形式，即x-μ的乘方次數不同。方差為2次方，斜度為3次方。
上面的描述量都可以歸為“矩”(moment)的一族描述量。類似於方差和斜度這樣的，它們都是x-μ乘方的期望，稱為中心矩(central moment)。
稱為k階中心矩，表示為
，其中k = 2, 3, 4, ...
還有另一種是原點矩(moment about the origin)，是X乘方的期望。 
稱為k階原點矩，表示為
，其中k = 1, 2, 3, ...
期望是一階原點矩:
矩生成函數
除了表示中心、離散程序、斜度這些特性外，更高階的矩可以描述分布的其它特性。矩統計中有重要的地位，比如參數估計的一種重要方法就是利用了矩。然而，根據矩的定義，我們需要對不同階的X冪求期望，這個過程包含復雜的積分過程，並不容易。矩同樣催生了矩生成函數(moment generating function)，它是求解矩的一樣有力武器。
在了解矩生成函數之前，先來回顧冪級數(power series)。冪級數是不同階數的乘方(比如 
)的加權總和：
ai是一個常數。
冪級數是數學中的重要工具，它的美妙之處在於，解析函數都可以寫成冪級數的形式，比如三角函數sin(x)可以寫成：
將解析函數分解為冪級數的過程，就是泰勒分解(Taylor）。我們不再深入其具體過程。
是很簡單的一種函數形式，它可以無限次求導，求導也很容易。這一特性讓冪級數變得很容易處理。將解析函數寫成冪級數，就起到化繁為簡的效果。(冪級數這一工具在數學上的用途極其廣泛，它用於數學分析、微分方程、復變函數…… )
如果我們將冪級數的x看作隨機變量X，並求期望。根據期望可以線性相加的特征，有:
我們可以通過矩，來計算f(X)的期望。
另一方面，我們可否通過解析函數來獲得矩呢？我們觀察下面一個指數函數，寫成冪級數的形式：
我們再次將x看作隨機變量X，並對兩側求期望，即
即使隨機變量的分布確定，
的值還是會隨t的變化而變化，因此這是一個關於t的函數。我們將它記為M(t)，這就是矩生成函數(moment generating function)。對M(t)的級數形式求導，並讓t等於0，可以讓高階的t的乘方消失，只留下E(x)即
即一階矩。如果繼續求高階導，並讓t等於0，可以獲得高階的矩。
有趣的是，多次求導系數正好等於冪級數系數中的階乘，所以可以得到上面優美的形式。我們通過冪級數的形式證明了，對矩生成函數求導，可以獲得各階的矩。相對於積分，求導是一個容易進行的操作。
矩生成函數的性質
矩生成函數的一面是冪級數，我們已經說了很多。矩生成函數的另一面，是它的指數函數的解析形式。即
在我們獲知了f(x)的具體形式之后，我們可以利用該積分獲得矩生成函數，然后求得各階的矩。當然，你也可以通過矩的定義來求矩。但許多情況下，上面指數形式的積分可以使用一些已有的結果，所以很容易獲得矩生成函數。矩生成函數的求解矩的方式會便利許多。
矩生成函數的這一定義基於期望，因此可以使用期望的一些性質，產生有趣的結果。
性質1 如果X的矩生成函數為 
，那么
(將Y寫成指數形式的期望，很容易證明該結論)
性質2 如果X和Y是獨立隨機變量，分別有矩生成函數Mx,My那么對於隨機變量Z=X+Y有
(基於獨立隨機變量乘積的期望，等於隨機變量期望的乘積)