直觀的數學：度量張量簡介
By maplewizard maplewizard@qq.com
這篇文章主要介紹度量張量的起源及它的基本應用。張量是19世紀以來比較偉大的數學發明之一，它的發明伴隨着微分幾何的提出，為在流形上進行各種運算提供了可能。在這里主要講解度量張量。首先我們來看一看我們需要解決一個什么問題，然后針對這個問題提出一種新的解決思路，最后講解度量張量的使用。
一、問題提出
在物理學中，經常使用到內積運算，比如求一個力所做的功，我們有：
$$W=\vec{F}\cdot\vec{S}$$
這個公式很簡單，計算的時候將[latex]\vec{F}[/latex]和[latex]\vec{S}[/latex]的各個分量乘起來再相加即等於內積。但是如果[latex]\vec{F}[/latex]和[latex]\vec{S}[/latex]定義在其他坐標系（如非正交的坐標系）下，那么直接用各個分量乘起來再相加得出的功就會有所不同！而根據我們的常識，功應該和坐標系的選擇無關，也就是說，兩個向量的內積是與坐標無關的，我們可以猜想點乘或許在某種情況下不等於內積。那么我們就需要引入一種對內積的新的認識。本文即將討論如何用點乘在所有坐標系下表示出內積，這種表示中就用到了度量張量。
二、解決思路
為了解決這個問題，我們先引入幾個基本概念，首先是愛因斯坦求和約定，其次是克羅內克符號，最后是逆變坐標和協變坐標。
2.1愛因斯坦求和約定
我們定義: $$ a_i b_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\cdot b_i$$ $$ a_{ij} b_j=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot b_j$$ 這種表示具有以下規律： 1） 重復兩次的指標是求和的啞指標 2） 出現一次的指標和本次運算沒有什么關系
2.2克羅內克符號（Kronecker）
定義克羅內克（Kronecker）符號 $$\delta_i^j=\left\{ \begin{align}& 1 \quad(i=j)\\& 0\quad(i\not =j) \end{align}\right.$$
2.3協變坐標與逆變坐標
對於一個非正交的坐標，它的基是非正交的，長度亦是不確定的。這組坐標叫做協變坐標基（當坐標系統放大或縮小時，它亦隨之放大或縮小）我們引入它的逆變坐標的概念。設協變坐標基為[latex]\{\boldsymbol{g_i}\}[/latex]，而其逆變坐標基記作[latex]\left\{\boldsymbol{g^i}\right\}[/latex](注意區分上標與指數)，對於[latex]\boldsymbol{g^i}[/latex]有 $$\left\{ \begin{aligned} \boldsymbol{g_i \cdot g^j}=0 \quad (i\not = j) \\ \boldsymbol{g_i \cdot g^i}=1 \end{aligned}\right.$$ 即是說每一個[latex]\boldsymbol{g^i}[/latex]對應於一個已有的[latex]\boldsymbol{g_i},\boldsymbol{g^i}[/latex]與其他所有的[latex]\boldsymbol{g_j}[/latex]都垂直，與其對應的[latex]\boldsymbol{g^i}[/latex]內積為1。如下圖所示： 圖中，[latex]\boldsymbol{P}[/latex]可以被分解它的協變坐標[latex]\boldsymbol{g_1,g_2}[/latex]上，對應的系數分別為[latex]p^1,p^2[/latex]。我們有：
$$P=p^1 \boldsymbol{g_1}+p^2 \boldsymbol{g_2}$$
經過簡單的幾何規則，我們很容易看出向量[latex]\boldsymbol{P}[/latex]在協變坐標上的分量等於[latex]\boldsymbol{P}[/latex]與其逆變分量的內積： $$p^\alpha = \boldsymbol{P \cdot g^\alpha}$$ 這也就是我們為什么要引入協變坐標和逆變坐標。逆變坐標與斜邊坐標互為對偶，而一個向量在一個非正交坐標系上的系數等於它與其對偶坐標的內積。我們使用直角坐標系的時候，因為協變坐標與逆變坐標是重合的，所以我們可以方便地和自己做內積就能得到系數，在推廣的非正交坐標系下，系數是與其對偶坐標的內積。
2.4新觀點下的內積
通過以上的研究，我們來看看內積與點乘。將[latex]\boldsymbol{F,S}[/latex]用協變坐標表出（在這使用了愛因斯坦求和約定）： $$\boldsymbol{F}=f^i\boldsymbol{g_i}$$ $$\boldsymbol{S}=s^i\boldsymbol{g_i}$$ 如果直接采用坐標相點乘，我們得到： $$W=\boldsymbol{F\cdot S}=f^i \boldsymbol{g_i} s^i\boldsymbol{g_i}=f^i s^i \boldsymbol{g_i \cdot g_i}$$ 通過上式我們可以看出，內積和點乘差了一項[latex]\boldsymbol{g_i \cdot g_i}[/latex]一旦這項不為1，則點乘和內積不相等。因此如果全部采用逆變坐標乘起來的話，這個值是與坐標相關的！為了解決這個問題，我們在需要求內積的時候采用逆變坐標與斜邊坐標點乘的形式。推導如下： $$W=\boldsymbol{F\cdot S}=f^i \boldsymbol{g_i} s_i\boldsymbol{g^i}=f^i s_i \boldsymbol{g_i \cdot g^i}= f^i s_i$$ 但是我們通常要求內積的兩個向量都是協變坐標或者都是逆變坐標。那么我們如何來解決這個問題？這就涉及到了度量張量的使用。
三、度量張量的使用
通過上面的敘述，我們知道，求兩個向量的內積，必須一個用它的協變坐標，另一個用逆變坐標。而在通常情況下，我們只有兩個的協變坐標（或逆變坐標），這個時候，我們就需要引入一個叫度量張量的東西，來輔助計算。 我們首先將逆變張量在協變坐標系下進行分解，我們有： $$\boldsymbol{g_i}=g_{ij}\boldsymbol{g^j}$$ （注意觀察[latex]g_{ij}[/latex]有類似於降坐標的功能）而[latex]g_{ij}[/latex]可表示如下： $$\boldsymbol{g_i \cdot g_j}=g_{ik}\boldsymbol{g^k \cdot g^j}=g^{ik}\delta^i_k=g_{ij}$$ $$\boldsymbol{F \cdot S}= f^i \boldsymbol{g_i} s^i\boldsymbol{g_i}=f^i g_{ij}\boldsymbol{g^j} s^i\boldsymbol{g_i}= g_{ij} f^i s^i \boldsymbol{g^j \cdot g_i}= g_{ij} f^i s^i \delta^j_i = g_{ij} f^i s^j$$ 通過上式可以看出，兩個向量的內積等於他們的坐標點乘，再乘上一個系數，而這個系數就叫做度量張量。換句話說，有了度量張量我們就能夠通過向量坐標計算任意坐標系下的內積。