【線性代數的幾何意義】什么是線性代數

一、什么是線性代數

線性與非線性：

非線性問題則可以在一定基礎上轉化為線性問題求解

線性空間：

對所謂的要滿足"加法"和"數乘"等八條公理的元素的集合

線性函數：

幾何意義：過原點的直線、平面、超平面

代數意義：可加性、比例性

可加性（線性的可加性既是沒有互相激勵的累加，也是沒有互相內耗的累加）

比例性（比例性又名齊次性說明沒有初始值，比如電路，沒有輸入信號時輸出也

為零，有幾倍的輸入量剛好就有幾倍的輸出量，增量是倍數關系，存量也是倍數關系）

幾何意義：m=n為直線，否則為平面或者超平面

線性映射：

T在這里也叫線性算子，具體的算子比如有微分算子，積分算子，拉普拉斯算子等

二維線性函數就構成了兩個二維平面之間由矩陣所確定的映射關系

1. 滿足可加性和比例性
2. 在兩個不同坐標系之間映射

線性變換：

如果映射是發生在一個集合上的同一個坐標系中，線性映射就被稱為線性變換。

線性變換作為線性映射的特例，就是把集合上的兩個坐標系合為一個。

直角坐標系下的圖形清楚地顯示了一個圖形圓被線性變換為一個橢圓。相應的，圓上的一個向量α映射為橢圓上的向量β。

同線性映射一樣，線性變換把向量變成另外一個向量，或者說把"線"變成"線"。在平面上，線性變換把原點仍變為原點（參考零點沒有移動），直線仍然變為直線（沒有打彎），平行線仍然是平行線，當然平行四邊形仍然是平行四邊形。