回溯法·遞歸 - 八皇后問題 Eight queens puzzle

問題描述：

在8X8格的國際象棋棋盤上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。

 

問題引申：

在n*n格的國際象棋棋盤上擺放n個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。

 

算法思路：

實現一個逐行逐行地放置皇后的函數

在第X行中的一格放上一個皇后

判斷這個皇后和前幾行的皇后等否互相攻擊，如果能則拿起來重新放到下一列，直到不會和前幾行的皇后相互攻擊后，再轉到X+1行繼續放皇后

然后遞歸調用該函數來解該問題。

 

最初我考慮的是建立一個n*n的數組表示一個棋盤，每個元素代表一個方格，通過不同的值來表示格子有沒有放皇后和會不會被其他皇后攻擊。

后來發現其實完全沒有必要那么復雜_(:з」∠)_。只需要用一維數組就能表示所有皇后的的位置：

int Queen[MAX];

例如Queen[index]，index的值表示行數，Queen[index]的值表示列數，那么Queen[3] = 4就表示第三行、第四列有一個皇后。那么通過判斷Queen[i]和Queen[j]的值是否相等就能知道i,j兩個皇后是不是在同一列了。

 

那么又該怎么判斷i和j兩個皇后是不是在同一斜線上呢？

我想到了中學學到的一元一次函數。

y = a * x + b

a是斜率，b是截距。很容易就知道棋盤中的斜線的斜率全都是1或-1，那么判斷兩個皇后是不是在同一斜線上，只需要判斷b是否相等就行了。

斜率為1時 b = y - x，為-1時， b = y + x 。我用兩個數組分別記錄1和-1的情況：

int PlusB[MAX]; int MinusB[MAX];

Queen[index] = i;
PlusB[index] = index - i;
MinusB[index] = index + i;

那么很容易地，通過判斷PlusB[i]和PlusB[j]，MinusB[i]和MinusB[j]是否相等就能知道i，j兩個皇后是不是在同一條斜線上了。

 

如此，就能得到判斷一個皇后會不會和前幾行的皇后相互攻擊的函數了：

 

bool Attack( int index ) { for (int i = 0; i < index; i++) if (Queen[i] == Queen[index] || PlusB[i] == PlusB[index] || MinusB[i] == MinusB[index]) return true; return false; }

 

 

那么遞歸調用的放置皇后的函數也很輕松地就實現了：

void PutQueen( int index ) { if (index == n) { Result++; return; } for (int i = 0; i < n; i++) { Queen[index] = i; PlusB[index] = index - i; MinusB[index] = index + i; if (!Attack( index )) PutQueen( index + 1 ); } }

通過index表示行數，即在第index行上放置皇后，每次判斷皇后會否互相攻擊，若不會，則index+1后遞歸調用函數，如果會攻擊則換一列放置皇后。直到index == n，則給結果加一並回溯一步換一列放置皇后，或者試完第index行的所有列了，又會回溯到上一步。

 

整個程序的代碼如下：

#include <fstream>

using namespace std;  4 
int n = 0;            // Number of Queens
int Result = 0;  7 const int MAX = 100;  8 int Queen[MAX];  9 int PlusB[MAX]; 10 int MinusB[MAX]; 11 FILE *fp; 12 
void OutPut( ); 14 bool Attack( int index ); 15 void PutQueen( int index ); 16 
int main() 18 { 19     printf( "Input the number of queens: " ); 20     scanf( "%d", &n ); 21     fp = fopen( "Result.txt", "w" ); 22     int index = 0; 23     if (n >= 4 && n <= 100) 24  PutQueen( index ); 25     else
        printf( "Out of Range!\n" ); 27  fclose( fp ); 28     printf( "The %d queens puzzle has %d distinct solutions.\n", n, Result ); 29     return 0;
} 31 
void OutPut()　　　　// Output to files 33 { 34     for (int i = 0; i < n; i++) 35  { 36         for (int j = 0; j < Queen[i]; j++) 37             fprintf( fp, " %d", 0 ); 38         fprintf( fp, " %d", 1 ); 39         for (int k = Queen[i] + 1; k < n; k++) 40             fprintf( fp, " %d", 0 ); 41         fprintf( fp, "\n" ); 42  } 43     fprintf( fp, "\n" ); 44 } 45 
bool Attack( int index ) 47 { 48     for (int i = 0; i < index; i++) 49     if (Queen[i] == Queen[index] || PlusB[i] == PlusB[index] || MinusB[i] == MinusB[index]) 50         return true; 51     return false; 52 } 53 
void PutQueen( int index ) 55 { 56     if (index == n) 57  { 58         Result++; 59  OutPut(); 60         return; 61  } 62     for (int i = 0; i < n; i++) 63  { 64         Queen[index] = i; 65         PlusB[index] = index - i; 66         MinusB[index] = index + i; 67         if (!Attack( index )) PutQueen( index + 1 ); 68  } 69 }