回溯法·递归 - 八皇后问题 Eight queens puzzle

问题描述：

在8X8格的国际象棋棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

 

问题引申：

在n*n格的国际象棋棋盘上摆放n个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

 

算法思路：

实现一个逐行逐行地放置皇后的函数

在第X行中的一格放上一个皇后

判断这个皇后和前几行的皇后等否互相攻击，如果能则拿起来重新放到下一列，直到不会和前几行的皇后相互攻击后，再转到X+1行继续放皇后

然后递归调用该函数来解该问题。

 

最初我考虑的是建立一个n*n的数组表示一个棋盘，每个元素代表一个方格，通过不同的值来表示格子有没有放皇后和会不会被其他皇后攻击。

后来发现其实完全没有必要那么复杂_(:з」∠)_。只需要用一维数组就能表示所有皇后的的位置：

int Queen[MAX];

例如Queen[index]，index的值表示行数，Queen[index]的值表示列数，那么Queen[3] = 4就表示第三行、第四列有一个皇后。那么通过判断Queen[i]和Queen[j]的值是否相等就能知道i,j两个皇后是不是在同一列了。

 

那么又该怎么判断i和j两个皇后是不是在同一斜线上呢？

我想到了中学学到的一元一次函数。

y = a * x + b

a是斜率，b是截距。很容易就知道棋盘中的斜线的斜率全都是1或-1，那么判断两个皇后是不是在同一斜线上，只需要判断b是否相等就行了。

斜率为1时 b = y - x，为-1时， b = y + x 。我用两个数组分别记录1和-1的情况：

int PlusB[MAX]; int MinusB[MAX];

Queen[index] = i;
PlusB[index] = index - i;
MinusB[index] = index + i;

那么很容易地，通过判断PlusB[i]和PlusB[j]，MinusB[i]和MinusB[j]是否相等就能知道i，j两个皇后是不是在同一条斜线上了。

 

如此，就能得到判断一个皇后会不会和前几行的皇后相互攻击的函数了：

 

bool Attack( int index ) { for (int i = 0; i < index; i++) if (Queen[i] == Queen[index] || PlusB[i] == PlusB[index] || MinusB[i] == MinusB[index]) return true; return false; }

 

 

那么递归调用的放置皇后的函数也很轻松地就实现了：

void PutQueen( int index ) { if (index == n) { Result++; return; } for (int i = 0; i < n; i++) { Queen[index] = i; PlusB[index] = index - i; MinusB[index] = index + i; if (!Attack( index )) PutQueen( index + 1 ); } }

通过index表示行数，即在第index行上放置皇后，每次判断皇后会否互相攻击，若不会，则index+1后递归调用函数，如果会攻击则换一列放置皇后。直到index == n，则给结果加一并回溯一步换一列放置皇后，或者试完第index行的所有列了，又会回溯到上一步。

 

整个程序的代码如下：

#include <fstream>

using namespace std;  4 
int n = 0;            // Number of Queens
int Result = 0;  7 const int MAX = 100;  8 int Queen[MAX];  9 int PlusB[MAX]; 10 int MinusB[MAX]; 11 FILE *fp; 12 
void OutPut( ); 14 bool Attack( int index ); 15 void PutQueen( int index ); 16 
int main() 18 { 19     printf( "Input the number of queens: " ); 20     scanf( "%d", &n ); 21     fp = fopen( "Result.txt", "w" ); 22     int index = 0; 23     if (n >= 4 && n <= 100) 24  PutQueen( index ); 25     else
        printf( "Out of Range!\n" ); 27  fclose( fp ); 28     printf( "The %d queens puzzle has %d distinct solutions.\n", n, Result ); 29     return 0;
} 31 
void OutPut()　　　　// Output to files 33 { 34     for (int i = 0; i < n; i++) 35  { 36         for (int j = 0; j < Queen[i]; j++) 37             fprintf( fp, " %d", 0 ); 38         fprintf( fp, " %d", 1 ); 39         for (int k = Queen[i] + 1; k < n; k++) 40             fprintf( fp, " %d", 0 ); 41         fprintf( fp, "\n" ); 42  } 43     fprintf( fp, "\n" ); 44 } 45 
bool Attack( int index ) 47 { 48     for (int i = 0; i < index; i++) 49     if (Queen[i] == Queen[index] || PlusB[i] == PlusB[index] || MinusB[i] == MinusB[index]) 50         return true; 51     return false; 52 } 53 
void PutQueen( int index ) 55 { 56     if (index == n) 57  { 58         Result++; 59  OutPut(); 60         return; 61  } 62     for (int i = 0; i < n; i++) 63  { 64         Queen[index] = i; 65         PlusB[index] = index - i; 66         MinusB[index] = index + i; 67         if (!Attack( index )) PutQueen( index + 1 ); 68  } 69 }