一、自協方差和自相關系數
p階自回歸AR(p)
自協方差 r(t,s)=E[X(t)-EX(t)][X(s)-EX(s)]
自相關系數ACF=r(s,t)/[(DX(t).DX(s))^0.5]
二、平穩時間序列自協方差與自相關系數
1、平穩時間序列可以定義r(k)為時間序列的延遲k自協方差函數：
r(k)=r(t,t+k)=E[X(t)-EX(t)][X(t+k)-EX(t+k)]
2、平穩時間序列的方差相等DX(t)=DX(t+k)=σ2，
所以DX(t)*DX(t+k)=σ2*σ2，
所以[DX(t)*DX(t+k)]^0.5=σ2
而r(0)=r(t,t)=E[X(t)-EX(t)][X(t)-EX(t)]=E[X(t)-EX(t)]^2=DX(t)=σ2
簡而言之，r(0)就是自己與自己的協方差，就是方差，
所以，平穩時間序列延遲k的自相關系數ACF等於：
p(k)=r(t,t+k)/[(DX(t).DX(t+k))^0.5]=r(k)/σ2=r(k)/r(0)
3、平穩AR(p)的自相關系數具有兩個顯著特征：一是拖尾性；二是呈負指數衰減。
三、偏相關系數
對於一個平穩AR(p)模型，求出滯后k自相關系數p(k)時，實際上得到並不是x(t)與x(t-k)之間單純的相關關系。因為x(t)同時還會受到中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的影響，而這k-1個隨機變量又都和x(t-k)具有相關關系，所以自相關系數p(k)里實際摻雜了其他變量對x(t)與x(t-k)的影響。
為了能單純測度x(t-k)對x(t)的影響，引進偏自相關系數的概念。
對於平穩時間序列{x(t)}，所謂滯后k偏自相關系數指在給定中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的干擾之后，x(t-k)對x(t)影響的相關程度。用數學語言描述就是：
p[(x(t),x(t-k)]|(x(t-1),……，x(t-k+1)={E[(x(t)-Ex(t)][x(t-k)-Ex(t-k)]}/E{[x(t-k)-Ex(t-k)]^2}
這就是滯后k偏自相關系數的定義。
四、MATLAB中的實現
平穩隨機序列的自相關系數——autocorr
Syntax：
autocorr(Series,nLags,M,nSTDs)
[ACF,lags,bounds] = autocorr(Series,nLags,M,nSTDs)
其中 Series 是平穩時間序列，nLags 是延遲階數。
平穩隨機序列的偏相關系數——parcorr
Syntaxparcorr(Series,nLags,R,nSTDs)
[PartialACF,lags,bounds]= parcorr(Series,nLags,R,nSTDs)
其中 Series 是平穩時間序列，nLags 是延遲階數。