【算法27】硬幣面值組合問題

問題描述

　　假設我們有8種不同面值的硬幣｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用這些硬幣組合夠成一個給定的數值n。例如n=200，那么一種可能的組合方式為 200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 問總過有多少種可能的組合方式？ (這道題目來自著名編程網站ProjectEuler, 點擊這里查看原題目) 類似的題目還有：

　　[華為面試題] 1分2分5分的硬幣三種，組合成1角，共有多少種組合

　　[創新工廠筆試題] 有1分，2分，5分，10分四種硬幣，每種硬幣數量無限，給定n分錢，有多少中組合可以組成n分錢

問題分析

　　給定一個數值sum，假設我們有m種不同類型的硬幣{V1, V2, ..., Vm}，如果要組合成sum，那么我們有

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm 

求所有可能的組合數，就是求滿足前面等值的系數{x1, x2, ..., xm}的所有可能個數。

　　[思路1] 當然我們可以采用暴力枚舉，各個系數可能的取值無非是x1 = {0, 1, ..., sum / V1}, x2 = {0, 1, ..., sum/ V2}等等。這對於硬幣種類數較小的題目還是可以應付的，比如華為和創新工廠的題目，但是復雜度也很高O（sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * ...）

　　[思路2] 從上面的分析中我們也可以這么考慮，我們希望用m種硬幣構成sum，根據最后一個硬幣Vm的系數的取值為無非有這么幾種情況，xm分別取｛0, 1, 2, ..., sum/Vm｝，換句話說，上面分析中的等式和下面的幾個等式的聯合是等價的。

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm

...

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm  

　　其中K是該xm能取的最大數值K = sum / Vm。可是這又有什么用呢？不要急，我們先進行如下變量的定義：

dp[i][sum] = 用前i種硬幣構成sum 的所有組合數。

　　那么題目的問題實際上就是求dp[m][sum]，即用前m種硬幣（所有硬幣）構成sum的所有組合數。在上面的聯合等式中：當xn=0時，有多少種組合呢？ 實際上就是前i-1種硬幣組合sum，有dp[i-1][sum]種！ xn = 1 時呢，有多少種組合？ 實際上是用前i-1種硬幣組合成(sum - Vm)的組合數，有dp[i-1][sum -Vm]種; xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]種，等等。所有的這些情況加起來就是我們的dp[i][sum]。所以：

dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]

+ dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

　　換一種更抽象的數學描述就是：

　　通過此公式，我們可以看到問題被一步步縮小，那么初始情況是什么呢？如果sum=0，那么無論有前多少種來組合0，只有一種可能，就是各個系數都等於0；

dp[i][0] = 1   // i = 0, 1, 2, ... , m

　　如果我們用二位數組表示dp[i][sum], 我們發現第i行的值全部依賴與i-1行的值，所以我們可以逐行求解該數組。如果前0種硬幣要組成sum，我們規定為dp[0][sum] = 0. 

程序源碼

　　通過上面的討論，我們最終可以寫出下面的代碼來求解該類問題：

/* 
 * Filename :coins.cpp
 * Description: solve coin combinations using dynamic programing
 * Complier: g++
 * Author: python27
 */
#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

/****************************************************************
 * coin Combinations: using dynamic programming
 *
 * Basic idea:
 * dp[i][j] = sum(dp[i-1][j-k*coins[i-1]]) for k = 1,2,..., j/coins[i-1]
 * dp[0][j] = 1 for j = 0, 1, 2, ..., sum
 * 
 * Input:
 * coins[] - array store all values of the coins
 * coinKinds - how many kinds of coins there are
 * sum - the number you want to construct using coins
 *
 * Output:
 * the number of combinations using coins construct sum
 *
 * Usage:
 * c[3] = {1, 2, 5};
 * int result = coinCombinations(c, 3, 10);
 *
 ****************************************************************/
int coinCombinations(int coins[], int coinKinds, int sum)
{
    // 2-D array using vector: is equal to: dp[coinKinds+1][sum+1] = {0};
    vector<vector<int> > dp(coinKinds + 1);
    for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    {
        dp[i].resize(sum + 1);
    }
    for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    {
        for (int j = 0; j <= sum; ++j)
        {
            dp[i][j] = 0;
        }
    }

    //init: dp[i][0] = 1; i = 0, 1, 2 ..., coinKinds
    //Notice: dp[0][0] must be 1, althongh it make no sense that
    //using 0 kinds of coins construct 0 has one way. but it the foundation
    //of iteration. without it everything based on it goes wrong
    for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    {
        dp[i][0] = 1;
    }

    // iteration: dp[i][j] = sum(dp[i-1][j - k*coins[i-1]])
    // k = 0, 1, 2, ... , j / coins[i-1]
    for (int i = 1; i <= coinKinds; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= sum; ++j)
        {
            dp[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k <= j / coins[i-1]; ++k)
            {
                dp[i][j] += dp[i-1][j - k * coins[i-1]];
            }
        }
    }

    return dp[coinKinds][sum];
}

int main()
{
    int coins[8] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200};
    int sum = 200;
    int result = coinCombinations(coins, 8, 200);
    cout << "using 8 kinds of coins construct 200, combinations are: " << endl;
    cout << result << endl;
    return 0;
}

 

　　聰明的讀者或許已經發現，在算法的描述中說明用動態規划的方法來求解此問題，什么？動態規划，我們什么時候用動態規划了？哈哈，在我們寫出遞歸公式並且給出初始解的時候，我們就已經在用動態規划了。

　　動態規划的基本思想就是將待求解問題分解為若干子問題，（如本題中我們將dp[i][j]分解為若干dp[i-1][j-x]的問題），先求解這些子問題並將結果保存起來( 我們用dp[][]二維數組保存子結果)，若在求解較大的問題時用到較小子問題的結果，可以直接取用(求dp[i][j]時用dp[i-1][x]的結果)，從而免去重復計算。動態規划是一種非常強大的算法思想，無論做過多少動態規划的題目，下一次依然會被動態規划的強大所震撼。隨后的博客中，我們會更多的接觸動態規划。你可以在后面的參考文獻中找到更多有用的資源。 

參考文獻

[1] ProjectEuler: http://projecteuler.net/problem=31

[2] Topcoder Algorithm tutorial: http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=dynProg

[3] Sanjoy Dasgupta. 算法概論. 清華大學出版社，2008: 173 - 193.  

[4] Thomas H. Cormen, et al. 算法導論. 機械工業出版社，2011: 192 - 212.