【基礎知識】 之 Binary Search Tree 二叉搜索樹

前言

這個系列是畢業找工作的復習筆記，希望可以和廣大正准備畢業的童鞋一起打牢基礎，迎接各種筆試……為了應付中英文筆試，關鍵詞都用英文進行標注，這樣就不怕面對英文題目了。之所以開始這一系列是因為之前在參加微軟筆試的時候，被一道stable sorting的選擇題給卡住了，才發現自己的基本功什么時候變得這么差了。既然要找工作就要好好復習，從最基礎的開始。算法的部分來自《The Algorithm Design Manual》的筆記。

結構特點

二叉搜索樹的特點是，小的值在左邊，大的值在右邊，即

比如：

這樣的結構有一個好處是很容易獲得最大值（Maximum）、最小值（minimum）、某元素的前驅（Precursor）、某元素的后繼（Successor）。

最大值：樹的最右節點。

最小值：樹的最左節點。

某元素前驅：左子樹的最右。

某元素的后繼：右子樹的最左。

基本操作

二叉搜索樹的基本操作包括searching、traversal、insertion以及deletion。

(代碼為了省地方沒有按照規范來寫，真正寫代碼的時候請一定遵照規范)

① searching

tree * search_tree(tree *l, item_type x){
    if(l == null) return NULL;
    if(l->item == x) return l;
    if(x < l->item){
        return (search_tree(l->left, x));
    }   
    if(x > l->item){
        return (search_tree(l->right, x));
    }
}

時間復雜度為O(h)，h為樹的高度。

② traversal

由於小的節點在左邊，大的節點在右邊，因此使用中序(in-order)遍歷可以方便的得到一個sorted list。

void traverse_tree(tree *l){
    if(l != NULL){
        traverse_tree(l->left);
        process_item(l->item);
        traverse_tree(l->right);
    }
}

時間復雜度為O(n)，n為樹的總結點數。

③ insertion

insert_tree(tree **l, item_type x, tree *parent){
    tree *p; /*temporary pointer*/
    if(*l == NULL){
        p = malloc(sizeof(tree));
        p->item = x;
        p->left = p->right = NULL;
        p->parent = parent;
        *l = p;
        return;
    }
    if(x < (*l)->item){
        insert_tree(&((*l)->left), x, *l);
    }else{
        insert_tree(&((*l)->right), x, *l);
    }
}

時間復雜度為O(h)，h為樹的高度。

④deletion

在刪除節點時有三種情況：

1）要刪除的節點為葉節點

　　那么直接刪除即可。

2）要刪除的節點有一個子節點

　　那么刪除掉該節點，並用其唯一的子節點代替自己的位置即可。

3）要刪除的節點有兩個子節點

　　那么首先要找到該節點的右子樹的最小值節點k，然后將該k替換掉待刪除節點。

最壞情況下，時間復雜度為O(h)+指針的移動開銷。

 

進階

由上可知，二叉搜索樹的dictionary operation（包括search、insertion、deletion）的時間復雜度均與O(h)相關，h為樹的高度（log n），如果按照上述的insertion方法構建樹，那么構建出來的樹的形狀各異，特別是當輸入序列有序時，更會退化到鏈表的程度。所以，如果能用某種方法，將樹的高度降低到最小，那么其dictionary operation的時間開銷均可以降低，不過相對而言構建樹的開銷將增大。為了降低二叉搜索樹的高度而提出了平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）的概念。它要求左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。這樣就可以將搜索樹的高度盡量減小。常用算法有紅黑樹、AVL、Treap、伸展樹等。