尋找最大的K個數
題目描述
有很多個無序的數，怎么選出其中最大的若干個數？
即，從n個數中選出最大的K個數。
解法一
先假設元素的數量不大，例如在幾千個左右，在這種情況下，我們就排序吧。
在這里，快速排序或堆排序都是不錯的選擇，他們的平均時間復雜度都是O(nlog2n)，然后取出錢K個，O(K)。
總的時間復雜度仍然是O(nlog2n)。
可以注意到，即便是K=1的情況，上面的算法復雜度仍然是O(nlog2n)，而顯然，我們可以通過n-1此的比較和交換得到結果，不需要對整個數組進行排序。
要避免做后面n-K個數的排序，可以使用部分排序算法，選擇排序和冒泡排序都是不錯的選擇。
把n個數中的前K個數排序出來，復雜度是O(n*K)。
哪一個更好呢？O(nlog2n) 和O(n*K)？這取決於K的大小，在K<log2n的情況下，可以選擇部分排序。
解法二
回憶一下快速排序，快排中的每一步，都是將數據分為兩組，其中一組的任何數都小於另一組中的任何數，不斷地對數據進行分割直到不能再分即完成排序。
假設n個數存儲在數組S中，從S中找出一個元素X，它把數組分為比它大的和比它小的兩部分，假設比它大的一部分數組是Smax，比它小的部分是Smin。
這時有兩種可能：
1.Smax中元素不足K個，說明Smax中的所有數和Smin中最大的K-|Smax|個元素就是數組S中最大的K個數；
2.Smax中元素的個數大於或等於K，則需要返回Smax中最大的K個元素。
這樣遞歸下去，問題的規模不斷地變小，平均時間復雜度O(n * log2K)。
解法三
尋找n個數中最大的K個數，本質上就是尋找這K個數中最小的那個，也就是第K大的數。
可以使用二分搜索的策略。對於一個給定的數p，可以在O(n)的時間復雜度內找出所有不小於p的數。
（此方法詳述部分略）。
解法四：如果N非常非常大呢？
前面三個解法都需要對數據訪問多次，如果n很大呢？100億？這個時候數據不能全部裝入內存，所以要求盡可能少地遍歷所有數據。
前K個數中最大的K個數是一個退化的情況，所有K個數就是最大的K個數，如果考慮第K+1個數，則它和前面K個數的最小值進行比較，比其大則替換它。
如果用一個數組來存儲最大的K個數，每加入一個數X，就掃描一遍數組，得到數組中最小的數Y。X和Y進行比較，替換它或者保持原數組不變。這種方法，所耗費的時間復雜度為O(n * K)。
進一步，可以用容量為K的最小堆來存儲最大的K個數。最小堆的堆頂元素就是最大K個數中最小的一個。每次新考慮一個數X，如果X小於堆頂則舍棄，如果X大於堆頂，那么用X替換堆頂，然后更新堆來維持堆的性質。（因為X可能並不是最小值，所以堆結構需要更新）。更新過程花費的時間復雜度為O(log2K)。
因此，算法的時間復雜度為O(n * log2K)，這實際上是部分執行了堆排序的算法。
解法五
如果所有n個數都是整數，且它們的取值范圍不太大，可以考慮申請空間，記錄每個整數出現的次數，然后再從大到小取最大的K個。
比如用數組count，count[i]表示整數i出現的次數。
極端情況下，如果n個整數各不相同，只需要一個bit來存儲這個整數是否存在。
實際情況下，並不一定能保證所有元素都是正整數，且取值范圍不太大。但是這種方法仍然可以推廣適用。比如把取值區間分成多塊，然后統計各個小區間中元素的個數。可以知道第K大的元素在哪一個小區間，然后再對那個小區間繼續進行分塊處理。
參考資料
《編程之美》2.5節。
本題目其他相關鏈接：
鏈接1：http://blog.csdn.net/koala002/article/details/6415485
鏈接2：http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/archive/2012/08/06/2624799.html
本博客關於排序算法的回顧：
排序算法：http://www.cnblogs.com/mengdd/archive/2012/11/24/2786346.html