有一種數據結構是神奇的，神秘的，它展現了位運算與數組結合的神奇魅力，太牛逼的，它就是樹狀數組，這種數據結構不是神人是發現不了的。
一：概序
假如我現在有個需求，就是要頻繁的求數組的前n項和，並且存在着數組中某些數字的頻繁修改，那么我們該如何實現這樣的需求？當然大家可以往
真實項目上靠一靠。
① 傳統方法：根據索引修改為O(1)，但是求前n項和為O(n)。
②空間換時間方法：我開一個數組sum[]，sum[i]=a[1]+....+a[i]，那么有點意思，求n項和為O(1)，但是修改卻成了O(N)，這是因為我的Sum[i]中牽
涉的數據太多了，那么問題來了，我能不能在相應的sum[i]中只保存某些a[i]的值呢？好吧，下面我們看張圖。
從圖中我們可以看到S[]的分布變成了一顆樹，有意思吧，下面我們看看S[i]中到底存放着哪些a[i]的值。
S[1]=a[1];
S[2]=a[1]+a[2];
S[3]=a[3];
S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
S[5]=a[5];
S[6]=a[5]+a[6];
S[7]=a[7];
S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];
之所以采用這樣的分布方式，是因為我們使用的是這樣的一個公式：S[i]=a[i-2k+1]+....+a[i]。
其中：2k 中的k表示當前S[i]在樹中的層數，它的值就是i的二進制中末尾連續0的個數，2k也就是表示S[i]中包含了哪些a[]，
舉個例子: i=610=01102 ；可以發現末尾連續的0有一個，即k=1，則說明S[6]是在樹中的第二層，並且S[6]中有21項，隨后我們求出了起始項：
a[6-21+1]=a[5]，但是在編碼中求出k的值還是有點麻煩的，所以我們采用更靈巧的Lowbit技術，即：2k=i&-i 。
則：S[6]=a[6-21+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。
二：代碼
1:神奇的Lowbit函數
1 #region 當前的sum數列的起始下標
2 /// <summary>
3 /// 當前的sum數列的起始下標
4 /// </summary>
5 /// <param name="i"></param>
6 /// <returns></returns>
7 public static int Lowbit(int i)
8 {
9 return i & -i;
10 }
11 #endregion
2:求前n項和
比如上圖中，如何求Sum(6)，很顯然Sum(6)=S4+S6，那么如何尋找S4呢？即找到6以前的所有最大子樹，很顯然這個求和的復雜度為logN。
1 #region 求前n項和
2 /// <summary>
3 /// 求前n項和
4 /// </summary>
5 /// <param name="x"></param>
6 /// <returns></returns>
7 public static int Sum(int x)
8 {
9 int ans = 0;
10
11 var i = x;
12
13 while (i > 0)
14 {
15 ans += sumArray[i - 1];
16
17 //當前項的最大子樹
18 i -= Lowbit(i);
19 }
20
21 return ans;
22 }
23 #endregion
3：修改
如上圖中，如果我修改了a[5]的值，那么包含a[5]的S[5]，S[6]，S[8]的區間值都需要同步修改,我們看到只要沿着S[5]一直回溯到根即可，
同樣它的時間復雜度也為logN。
1 public static void Modify(int x, int newValue)
2 {
3 //拿出原數組的值
4 var oldValue = arr[x];
5
6 for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))
7 {
8 //減去老值，換一個新值
9 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;
10 }
11 }
最后上總的代碼:
View Code
View Code
1 using System;
2 using System.Collections.Generic;
3 using System.Linq;
4 using System.Text;
5 using System.Diagnostics;
6 using System.Threading;
7 using System.IO;
8
9 namespace ConsoleApplication2
10 {
11 public class Program
12 {
13 static int[] sumArray = new int[8];
14
15 static int[] arr = new int[8];
16
17 public static void Main()
18 {
19 Init();
20
21 Console.WriteLine("A數組的值:{0}", string.Join(",", arr));
22 Console.WriteLine("S數組的值:{0}", string.Join(",", sumArray));
23
24 Console.WriteLine("修改A[1]的值為3");
25 Modify(1, 3);
26
27 Console.WriteLine("A數組的值:{0}", string.Join(",", arr));
28 Console.WriteLine("S數組的值:{0}", string.Join(",", sumArray));
29
30 Console.Read();
31 }
32
33 #region 初始化兩個數組
34 /// <summary>
35 /// 初始化兩個數組
36 /// </summary>
37 public static void Init()
38 {
39 for (int i = 1; i <= 8; i++)
40 {
41 arr[i - 1] = i;
42
43 //設置其實坐標：i=1開始
44 int start = (i - Lowbit(i));
45
46 var sum = 0;
47
48 while (start < i)
49 {
50 sum += arr[start];
51
52 start++;
53 }
54
55 sumArray[i - 1] = sum;
56 }
57 }
58 #endregion
59
60 public static void Modify(int x, int newValue)
61 {
62 //拿出原數組的值
63 var oldValue = arr[x];
64
65 arr[x] = newValue;
66
67 for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))
68 {
69 //減去老值，換一個新值
70 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;
71 }
72 }
73
74 #region 求前n項和
75 /// <summary>
76 /// 求前n項和
77 /// </summary>
78 /// <param name="x"></param>
79 /// <returns></returns>
80 public static int Sum(int x)
81 {
82 int ans = 0;
83
84 var i = x;
85
86 while (i > 0)
87 {
88 ans += sumArray[i - 1];
89
90 //當前項的最大子樹
91 i -= Lowbit(i);
92 }
93
94 return ans;
95 }
96 #endregion
97
98 #region 當前的sum數列的起始下標
99 /// <summary>
100 /// 當前的sum數列的起始下標
101 /// </summary>
102 /// <param name="i"></param>
103 /// <returns></returns>
104 public static int Lowbit(int i)
105 {
106 return i & -i;
107 }
108 #endregion
109 }
110 }
