經典算法題每日演練——第三題 猴子吃桃


 

        猴子第一天摘下若干個桃子,當即吃了一半,還不過癮就多吃了一個。第二天早上又將剩下的桃子吃了一半,還是不過癮又多

吃了一個。以后每天都吃前一天剩下的一半再加一個。到第10天剛好剩一個。問猴子第一天摘了多少個桃子?

 

分析: 這是一套非常經典的算法題,這個題目體現了算法思想中的遞推思想,遞歸有兩種形式,順推和逆推,針對遞推,只要

        我們找到遞推公式,問題就迎刃而解了。

               令S10=1,容易看出 S9=2(S10+1), 簡化一下 

                 S9=2S10+2

                 S8=2S9+2

                     .....

                 Sn=2Sn+1+2

 

遙想公瑾當年,老師說遞歸是最簡潔,最容易理解的,好,就用遞歸試一下:

 1     class Program
 2     {
 3         static void Main(string[] args)
 4         {
 5             int sum = SumPeach(1);
 6 
 7             Console.WriteLine("第一天摘得桃子有:{0}", sum);
 8 
 9             Console.Read();
10         }
11 
12         //遞歸
13         static int SumPeach(int day)
14         {
15             if (day == 10)
16                 return 1;
17 
18             return 2 * SumPeach(day + 1) + 2;
19         }
20     }

 

當我們玩轉遞歸的時候,老師說線性遞歸會將“變量,參數,返回值”在“遞”的過程中壓棧,如果遲遲“遞”不到頭的話,棧就會越積越多,

最后就爆掉了,window中系統默認的堆棧空間是1M。

那么解決方法是什么? 尾遞歸,下面我們繼續上代碼:

 1     class Program
 2     {
 3         static void Main(string[] args)
 4         {
 5             int sum = SumPeachTail(1, 1);
 6 
 7             Console.WriteLine("第一天摘得桃子有:{0}", sum);
 8 
 9             Console.Read();
10         }
11 
12         //尾遞歸
13         static int SumPeachTail(int day, int total)
14         {
15             if (day == 10)
16                 return total;
17 
18             //將當前的值計算出傳遞給下一層
19             return SumPeachTail(day + 1, 2 * total + 2);
20         }
21     }

 

那么兩種遞歸有什么區別呢?上圖說話。

 

從圖中我們可以清晰的看到“線性遞歸”和“尾遞歸”的區別,那到底有什么本質區別呢?尾遞歸中在每次向下遞歸的過程中,都會將當前

層的結果計算出來后向下一層傳遞,從理論上說,傳到下一層后,上一層的參數值已經沒有存在的必要了,可以清除上一層中的變量占

用的棧空間,那么最終達到的效果就是永遠不會出現StackOverflowException了,但實際上是否真有這個效果,得要看編譯程序是否

真的給你優化了。

下面我們將day=10改成day=int.MaxValue,跑一下程序看看:

很可惜,有圖有真相,拋出異常了,當然我是菜鳥,早已看不懂匯編了,大家也可以討論討論,目前我個人認為C#編譯器沒有給

我做這個優化:-D。

 

下一步我們就要計算一下這個遞歸的時間復雜度是多少,關於求“遞歸”的時間復雜度主要有三種:

1.  代換法。

2.  遞歸樹法。

3.  主定理。

 

這一篇我就說下代換法,作法如下

①:猜一下遞歸式復雜度的上界或者下界。

②:用數學歸納法證明你的復雜度是正確的。

 

為了具有通用性,我們將“猴子吃桃”的問題反過來寫,也就是已知S1,求S10,當然原理是一樣的,通用公式就有如下形式:

                 Tn=2Tn-1+2             ①  

假使           Tn=O(n)                   ②

則必定存在一個 c>0的自然數使

                Tn<=cO(n)=cn           ③

③代入①知 

                Tn<=2c(n-1)+2=2cn-2c+2

                                      =cn-c+1

                                      =cn-(c-1)

當c>=1時,則必有 Tn<=cn  

 

最后得出遞歸式的時間復雜度為O(N)。

 


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