猴子第一天摘下若干個桃子,當即吃了一半,還不過癮就多吃了一個。第二天早上又將剩下的桃子吃了一半,還是不過癮又多
吃了一個。以后每天都吃前一天剩下的一半再加一個。到第10天剛好剩一個。問猴子第一天摘了多少個桃子?
分析: 這是一套非常經典的算法題,這個題目體現了算法思想中的遞推思想,遞歸有兩種形式,順推和逆推,針對遞推,只要
我們找到遞推公式,問題就迎刃而解了。
令S10=1,容易看出 S9=2(S10+1), 簡化一下
S9=2S10+2
S8=2S9+2
.....
Sn=2Sn+1+2
遙想公瑾當年,老師說遞歸是最簡潔,最容易理解的,好,就用遞歸試一下:
1 class Program 2 { 3 static void Main(string[] args) 4 { 5 int sum = SumPeach(1); 6 7 Console.WriteLine("第一天摘得桃子有:{0}", sum); 8 9 Console.Read(); 10 } 11 12 //遞歸 13 static int SumPeach(int day) 14 { 15 if (day == 10) 16 return 1; 17 18 return 2 * SumPeach(day + 1) + 2; 19 } 20 }
當我們玩轉遞歸的時候,老師說線性遞歸會將“變量,參數,返回值”在“遞”的過程中壓棧,如果遲遲“遞”不到頭的話,棧就會越積越多,
最后就爆掉了,window中系統默認的堆棧空間是1M。
那么解決方法是什么? 尾遞歸,下面我們繼續上代碼:
1 class Program 2 { 3 static void Main(string[] args) 4 { 5 int sum = SumPeachTail(1, 1); 6 7 Console.WriteLine("第一天摘得桃子有:{0}", sum); 8 9 Console.Read(); 10 } 11 12 //尾遞歸 13 static int SumPeachTail(int day, int total) 14 { 15 if (day == 10) 16 return total; 17 18 //將當前的值計算出傳遞給下一層 19 return SumPeachTail(day + 1, 2 * total + 2); 20 } 21 }
那么兩種遞歸有什么區別呢?上圖說話。
從圖中我們可以清晰的看到“線性遞歸”和“尾遞歸”的區別,那到底有什么本質區別呢?尾遞歸中在每次向下遞歸的過程中,都會將當前
層的結果計算出來后向下一層傳遞,從理論上說,傳到下一層后,上一層的參數值已經沒有存在的必要了,可以清除上一層中的變量占
用的棧空間,那么最終達到的效果就是永遠不會出現StackOverflowException了,但實際上是否真有這個效果,得要看編譯程序是否
真的給你優化了。
下面我們將day=10改成day=int.MaxValue,跑一下程序看看:
很可惜,有圖有真相,拋出異常了,當然我是菜鳥,早已看不懂匯編了,大家也可以討論討論,目前我個人認為C#編譯器沒有給
我做這個優化:-D。
下一步我們就要計算一下這個遞歸的時間復雜度是多少,關於求“遞歸”的時間復雜度主要有三種:
1. 代換法。
2. 遞歸樹法。
3. 主定理。
這一篇我就說下代換法,作法如下
①:猜一下遞歸式復雜度的上界或者下界。
②:用數學歸納法證明你的復雜度是正確的。
為了具有通用性,我們將“猴子吃桃”的問題反過來寫,也就是已知S1,求S10,當然原理是一樣的,通用公式就有如下形式:
Tn=2Tn-1+2 ①
假使 Tn=O(n) ②
則必定存在一個 c>0的自然數使
Tn<=cO(n)=cn ③
③代入①知
Tn<=2c(n-1)+2=2cn-2c+2
=cn-c+1
=cn-(c-1)
當c>=1時,則必有 Tn<=cn
最后得出遞歸式的時間復雜度為O(N)。