快速排序 Quick Sort

快速排序 Quick Sort

　　快速排序的基本思想是，通過一趟排序將待排記錄分割成獨立的兩部分，其中一部分記錄的關鍵字均比另一部分記錄的關鍵字小，則可分別對這兩部分記錄繼續進行排序，以達到整個序列有序。

　　一趟快速排序（或一次划分）的過程如下：首先任意選取一個記錄（通常可選第一個記錄）作為樞軸（或支點）（pivot），然后按下列原則重新排列其余記錄：將所有關鍵字比它小的記錄都安置在它的位置之前，將所有關鍵字比它大的記錄都安置在它的位置之后。

　　經過一趟快速排序之后，以該樞軸記錄最后所落的位置i作分界線，將序列分割成兩個子序列，之后再分別對分割所得的兩個子序列進行快速排序。

　　可以看出這個算法可以遞歸實現，可以用一個函數來實現划分，並返回分界位置。然后不斷地這么分下去直到排序完成，可以看出函數的輸入參數需要提供序列的首尾位置。

快速排序的實現

划分實現1 （樞軸跳來跳去法）

　　一趟快速排序的實現：設兩個指針low和high，設樞軸記錄的關鍵字為pivotkey，則首先從high所指位置起向前搜索找到第一個關鍵字小於pivotkey的記錄和樞軸記錄互相交換，然后從low所指位置起向后搜索，找到第一個關鍵字大於pivotkey的記錄和樞軸記錄互相交換，重復這兩步直至low==high為止。

　　下面的代碼例子元素類型為int，並且關鍵字就是其本身。

typedef int ElemType;

int Patition(ElemType A[], int low, int high)
{
        
    ElemType pivotkey=A[low];
    ElemType temp;


    while(low<high)
    {

        while(low <high && A[high]>=pivotkey)
        {
            --high;
        }
        temp=A[high];
        A[high]=A[low];
        A[low]=temp;
        while(low<high && A[low]<=pivotkey)
        {
            ++low;
        }
        temp=A[high];
        A[high]=A[low];
        A[low]=temp;
    }
    return low;

}

 

划分實現2 （樞軸一次到位法）

　　從上面的實現可以看出，樞軸元素（即最開始選的“中間”元素（其實往往是拿第一個元素作為“中間”元素））在上面的實現方法中需要不斷地和其他元素交換位置，而每交換一次位置實際上需要三次賦值操作。

　　實際上，只有最后low=high的位置才是樞軸元素的最終位置，所以可以先將樞軸元素保存起來，排序過程中只作元素的單向移動，直至一趟排序結束后再將樞軸元素移至正確的位置上。

　　代碼如下：

int Patition(ElemType A[], int low, int high)
{

    ElemType pivotkey=A[low];
    ElemType temp = A[low];


    while(low<high)
    {

        while(low <high && A[high]>=pivotkey)
        {
            --high;
        }
        A[low]=A[high];
        while(low<high && A[low]<=pivotkey)
        {
            ++low;
        }
        A[high]=A[low];
    }
    A[low] = temp;
    return low;

}

 

　　可以看到減少了每次交換元素都要進行的三個賦值操作，變成了一個賦值操作。

　　細節就是每次覆蓋掉的元素都已經在上次保存過了，所以不必擔心，而第一次覆蓋掉的元素就是樞軸元素，最后覆蓋在了它應該處於的位置。

 

遞歸形式的快速排序算法

void QuickSort(ElemType A[], int low, int high)
{
    if(low<high)
    {
        int pivotloc=Patition(A,low, high);
        QuickSort(A, low, pivotloc-1);
        QuickSort(A, pivotloc+1, high);
    }
}

　　不管划分是上面哪一種實現，都可以用這個遞歸形式進行快速排序。

　　需要注意的是這個if語句不能少，不然沒法停止，會導致堆棧溢出的異常。

 

快速排序的性能分析

時間復雜度

　　快速排序的平均時間為T_avg(n)=knln(n)，其中n為待排序列中記錄的個數，k為某個常數，在所有同數量級的先進的排序算法中，快速排序的常數因子k最小。

　　因此，就平均性能而言，快速排序是目前被認為是最好的一種內部排序方法。通常認為快速排序在平均情況下的時間復雜度為O(nlogn)。

　　但是，快速排序也不是完美的。

　　若初始記錄序列按關鍵字有序或基本有序，快速排序將蛻化為冒泡排序，其時間復雜度為O(n²)。

　　原因：因為每次的樞軸都選擇第一個元素，在有序的情況下，性能就蛻化了。

　　如下圖：

 

 

                       

快速排序的空間利用情況

　　從空間上看，快速排序需要一個棧空間來實現遞歸。

　　若每一趟排序都將記錄序列分割成長度相接近的兩個子序列，則棧的最大深度為log₂n+1（包括最外層參量進棧）；但是，若每趟排序之后，樞軸位置均偏向子序列的一端，則為最壞情況，棧的最大深度為n。

　　如果在一趟划分之后比較分割所得兩部分的長度，且先對長度短的子序列中的記錄進行快速排序，則棧的最大深度可降為O(logn)。

性能改善

　　為改進快速排序算法，隨機選取界點或最左、最右、中間三個元素中的值處於中間的作為界點，通常可以避免原始序列有序的最壞情況。

　　然而，即使如此，也不能使快速排序在待排記錄序列已按關鍵字有序的情況下達到O(n)的時間復雜度（冒泡排序可以達到）。

　　為此，可以如下修改划分算法：在指針high減去1和low增加1的同時進行“起泡”操作，即在相鄰兩個記錄處於“逆序”時進行互換，同時在算法中附設兩個布爾型變量分別指示指針low和high在從兩端向中間移動的過程中是否進行過交換記錄的操作，若沒有，則不需要對低端或高端子表進行排序，這將進一步改善快速排序的平均性能。

　　另外，將遞歸算法改為非遞歸算法，也將加快速度，因為避免了進出棧和恢復斷點等工作。