推薦技術公眾號：不愛睡覺的大豬
粗略講講SPFA算法的原理，SPFA算法是1994年西安交通大學段凡丁提出
是一種求單源最短路的算法
算法中需要用到的主要變量
int n; //表示n個點，從1到n標號
int s,t; //s為源點，t為終點
int d[N]; //d[i]表示源點s到點i的最短路
int p[N]; //記錄路徑（或者說記錄前驅）
queue <int> q; //一個隊列，用STL實現，當然可有手打隊列，無所謂
bool vis[N]; //vis[i]=1表示點i在隊列中 vis[i]=0表示不在隊列中
幾乎所有的最短路算法其步驟都可以分為兩步
1.初始化
2.松弛操作
初始化： d數組全部賦值為INF（無窮大）；p數組全部賦值為s（即源點），或者賦值為-1，表示還沒有知道前驅
然后d[s]=0; 表示源點不用求最短路徑，或者說最短路就是0。將源點入隊；
（另外記住在整個算法中有頂點入隊了要記得標記vis數組，有頂點出隊了記得消除那個標記）
隊列+松弛操作
讀取隊頭頂點u，並將隊頭頂點u出隊（記得消除標記）；將與點u相連的所有點v進行松弛操作，如果能更新估計值（即令d[v]變小），那么就更新，另外，如果點v沒有在隊列中，那么要將點v入隊（記得標記），如果已經在隊列中了，那么就不用入隊
以此循環，直到隊空為止就完成了單源最短路的求解
SPFA可以處理負權邊
定理: 只要最短路徑存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。
證明：
每次將點放入隊尾，都是經過松弛操作達到的。換言之，每次的優化將會有某個點v的最短路徑估計值d[v]變小。所以算法的執行會使d越來越小。由於我們假定圖中不存在負權回路，所以每個結點都有最短路徑值。因此，算法不會無限執行下去，隨着d值的逐漸變小，直到到達最短路徑值時，算法結束，這時的最短路徑估計值就是對應結點的最短路徑值。（證畢）
期望的時間復雜度O(ke)， 其中k為所有頂點進隊的平均次數，可以證明k一般小於等於2。
判斷有無負環：
如果某個點進入隊列的次數超過N次則存在負環（SPFA無法處理帶負環的圖）
SPFA的兩種寫法，bfs和dfs，bfs判別負環不穩定，相當於限深度搜索，但是設置得好的話還是沒問題的，dfs的話判斷負環很快
int spfa_bfs(int s) { queue <int> q; memset(d,0x3f,sizeof(d)); d[s]=0; memset(c,0,sizeof(c)); memset(vis,0,sizeof(vis)); q.push(s); vis[s]=1; c[s]=1; //頂點入隊vis要做標記，另外要統計頂點的入隊次數 int OK=1; while(!q.empty()) { int x; x=q.front(); q.pop(); vis[x]=0; //隊頭元素出隊，並且消除標記 for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍歷頂點x的鄰接表 { int y=v[k]; if( d[x]+w[k] < d[y]) { d[y]=d[x]+w[k]; //松弛 if(!vis[y]) //頂點y不在隊內 { vis[y]=1; //標記 c[y]++; //統計次數 q.push(y); //入隊 if(c[y]>NN) //超過入隊次數上限，說明有負環 return OK=0; } } } } return OK; }
int spfa_dfs(int u) { vis[u]=1; for(int k=f[u]; k!=0; k=e[k].next) { int v=e[k].v,w=e[k].w; if( d[u]+w < d[v] ) { d[v]=d[u]+w; if(!vis[v]) { if(spfa_dfs(v)) return 1; } else return 1; } } vis[u]=0; return 0; }