分析算法時間復雜度時,把注意力集中到關鍵的操作上。
幾種漸進符號
大寫O符號
f(n)=O(g(n)),這里f(n)是分析出來算法的執行次數的函數,
O的定義:當且僅當存在正的常數c和n0,使得對於所有的n>=n0,有f(n)<=cg(n)。
這里cg(n)就是函數f(n)的上限。
幾種函數的例子:
1.線性函數
f(n)=3n+2,當n>=2時,3n+2<=3n+n=4n。所以f(n)=O(n),這里c就是4,n0=2。
2.平方函數
f(n)=2n^2+3n+3,當n>=3時,3n+3<=4n,當n>=4時,4n<n^2,f(n)=2n^2+n^2=3n^2。
f(n)=O(n^2),這里c是3,n0=4。
3.指數函數
f(n)=6*2^n+n^2,當n>=4時,n^2<=2^n,所以當n>=4,有f(n)<=6*2^n+2^n=7*2^n。
這里c是7,n0=4,f(n)=O(2^n)。
4.常數階
f(n)=9,這里就直接記為O(1),c為9,n0為0就可以了,f(n)=9<=9*1。
Ω符號
f(n)=Ω(g(n)),當且僅當存在正的常數c和n0,使得對於所有n>=n0,有f(n)>=cg(n)。
Ω符號是給函數的下限。
例子
對於所有的n,有f(n)=3n+2>3n,所以f(n)=Ω(n),這里c=3,n0=0。這里也可以這樣f(n)=Ω(1),
但是這個精確度貌似也太坑爹了。
比分析函數上限簡單些。
Θ符號
對於存在大於0的常數c1、c2和非負的整數n0,以及足夠大的n,對於所有的n≥n0來說,有c1g(n)<=f
(n)<=c2g(n)。
3n+2=Θ(n),當c1=3,c2=4,n>=n0=2時,3n<=3n+2<=4n。
小寫o符號
定義:f(n)=o(g(n))當且僅當f(n)=O(g(n))且f(n)!=Ω(g(n))。