算法分析中常用的幾種漸進符號

在算法分析中，經常會遇到以下幾種漸進符號

1. 漸近精確界記號：ΘΘ（big-theta）
2. 漸近上界記號 ：OO(big-oh)
3. 漸近下界記號 ：ΩΩ(big-omege)
4. 非漸近緊確上界：o(小-oh)
5. 非漸近緊確下界：ω(小-omege)

下面對漸進符號進行詳解：

大寫O符號
f(n)=O(g(n))，這里f(n)是分析出來算法的執行次數的函數，
O的定義:   當且僅當存在正的常數c和n0，使得對於所有的n>=n0，有f(n)<=cg(n)。
這里cg(n)就是函數f(n)的上限。講到這是不是很迷糊，我剛開始也這樣，不着急，看下面例子，你就會恍然大悟啦。

幾種函數的例子:
1.線性函數
f(n)=3n+2，當n>=2時，3n+2<=3n+n=4n。

所以f(n)=O(n)，這里c = 4，n0 = 2，g(n) = n, 那么cg(n) 也就是4n 就是f(n) 的上界

2.平方函數
f(n)=2n^2+3n+3，當n>=3時，3n+3<=4n，當n>=4時，4n<n^2，f(n)=2n^2+n^2=3n^2。
f(n)=O(n^2)，這里c = 3，n0 = 4， g(n) = n^2 ,那么cg(n) 也就是3n^2 就是f(n) 的上界

3.指數函數
f(n)=6*2^n+n^2，當n>=4時，n^2<=2^n，所以當n>=4，有f(n)<=6*2^n+2^n=7*2^n。
這里c是7，n0=4，f(n)=O(2^n)。

4.常數階
f(n)=9，這里就直接記為O(1)，c為9，n0為0就可以了，f(n)=9<=9*1。

 

Ω符號
定義：f(n)=Ω(g(n))，當且僅當存在正的常數c和n0，使得對於所有n>=n0，有f(n)>=cg(n)。
Ω符號是給函數的下限。
例子:
對於所有的n，有f(n)=3n+2>3n，所以f(n)=Ω(n)，這里c=3，n0=0。這里也可以這樣f(n)=Ω(1)，

 

Θ符號
定義：對於存在大於0的常數c1、c2和非負的整數n0，以及足夠大的n，對於所有的n≥n0來說，有c1g(n)<=f 
(n)<=c2g(n)。
例子：3n+2=Θ(n)，當c1=3,c2=4，n>=n0=2時，3n<=3n+2<=4n。

 

小寫o符號
定義: f(n)=o(g(n))，當且僅當f(n)=O(g(n))  且f(n)!=Ω(g(n))。

 

 

漸近記號Θ、Ο、o、Ω、ω關系