漸進符號詳解

1.漸近緊確界記號： Θ（big-theta）

  假設算法A的運行時間表達式T1​(n)為：T 1 ( n ) = 30 n^ 4 + 20 n ^3 + 40 n^ 2 + 46 n + 100
  假設算法B的運行時間表達式T2​(n)為：T 2 ( n ) = 1000 n 3 + 50 n 2 + 78 n + 10
當問題規模足夠大的時候，例如n=100萬，算法的運行時間將主要取決於時間表達式的第一項，其它項的執行時間只有它的幾十萬分之一，可以忽略不計。第一項的常數系數，隨着n的增大，對算法的執行時間也變得不重要了。
  於是，算法A的運行時間可以記為：T 1 ( n ) ≈ n^ 4，記為T 1 ( n ) = Θ ( n ^4 )；算法B的運行時間可以記為：T2​(n)≈n^3，記為T 2 ( n ) = Θ ( n ^3 )。

  由下圖中左側f(n)=Θ(g(n))圖可以看出，對所有n>n0​時，函數f(n)乘一個常量因子可等於g(n)，我們稱g(n)是f(n)的一個 漸近緊確界 。Θ記號在五個記號中，要求是最嚴格的，因為g(n)即可以表示上界也可以表示下界。

  需要注意的是：Θ(g(n))的定義要求每個成員f(n)∈Θ(g(n))均 漸近非負，即當n足夠大時，f(n)非負。 漸近正函數 就是對所有足夠大的n均為正的函數。

2.漸近上界記號：O(big-oh)

定義：設f(n)和g(n)是定義域為自然數集N上的函數。若存在正數c和n0​，使得對一切n≥n0​都有0≤f(n)≤cg(n)成立，則稱f(n)的漸進的上界是g(n)，記作f(n)=O(g(n))。通俗的說n滿足一定條件范圍內，函數f(n)的階不高於函數g(n)。

  根據符號O的定義，用它評估算法的復雜度得到的只是問題規模充分大時的一個上界。這個上界的階越低，評估越精確，越有價值。

幾種常見的復雜度關系

符號用法測試：素數測試

int isprime(int n) {
    for(int i=2; i<=(int)sqrt(n); i++) {
        if(n%i==0) { 
            return0;
        }
    }
    return1;
}

在上面這個素數測試的例子中，基本運算是整除；時間復雜度T ( n ) = O ( n ^1 /2 ) 是正確的。當被測的數n為偶數時，基本運算一次也沒執行，所以T ( n ) = Θ ( n ^1/ 2 ) 是錯誤的，因為沒有辦法證明T(n)的下界是Ω ( n^ 1 /2 )。

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3.漸近下界記號：Ω(big-omege)

  根據符號Ω的定義，用它評估算法的復雜度得到的只是問題規模充分大時的一個下界。這個下界的階越高，評估越精確，越有價值。

顯然，Ω(n^2)作為下界更為精確。

4.非漸近緊確上界：o(小-oh)

定義1：設f(n)和g(n)是定義域為自然數集N上的函數。若對於任意正數c，都存在n_0，使得對一切n≥n_0都有0≤f(n)

由O記號提供的漸近上界可能是漸近緊確的，也可能是非緊確的。（如：2 n ^2 = O ( n ^2 )是漸近緊確的，而2n=O(n^2)是非緊確上界。）
例子：f(n)=n^2+n，則f ( n ) = o ( n ^3 ).

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5.非漸近緊確下界：ω(小-omege)

定義1：設f(n)和g(n)是定義域為自然數集N上的函數。若對於任意正數c，都存在n_0，使得對一切n≥n_0都有0≤cg(n)

ω記號與Ω的關系類似於o和O記號的關系。我們用ω表示一個非漸近緊確的下界。
例子：f(n)=n^2+n，則f(n)=ω(n)是正確的。f(n)=ω(n^2)則是錯誤的，f(n)=Ω(n^2)是正確的。

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6.漸近記號Θ、Ο、o、Ω、ω關系

記號	含義	通俗理解
(1)Θ（西塔）	緊確界。	相當於"="
(2)O （大歐）	上界。	相當於"<="
(3)o（小歐）	非緊的上界。	相當於"<"
(4)Ω（大歐米伽）	下界。	相當於">="
(5)ω（小歐米伽）	非緊的下界。	相當於">"

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7.習題練習

8.參考資料

1.算法導論  殷建平 譯   機械工業出版社

2.計算機算法設計與分析習題解答 第二版  王曉東