浮點數的二進制表示

• 看了這篇文章才對浮點數的二進制表示有所了解，不過我的目的不是為了軟考。
• C/C++編譯器都是按照IEEE的浮點數表示法，即一種科學計數法 ，用符號，指數和尾數來表示，底數為2，也就是把浮點數表示為尾數乘以2的指數次方再添加上符號的形式。因為科學技術法 a×b^m的形式，a介於1～10，而浮點數表示法中，a始終為1，所以在最終的表示結果中，這個1被略去。
  具體規格是：
  

  	符號位	階碼	尾數	總長度
  float	1	8	23	32
  double	1	11	52	64

• 下面通過例子來解釋上面的表示規格：
• 38414.4表示為double：
  • 分開整數和小數部分，整數化為16進制，0x960E；小數部分為：0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。
    有的小數可以窮盡，有的是永遠不會窮盡的，此時只需要提取出各項的系數，即011……，這些項的和加上整數部分共53位就可以了。正如上面所言的，最高為不變的1可以省略，最終是53-1=52位。
    38414.4可以表示為b1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100。
    用科學計數法表示為1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100×2¹⁵。
  • 然后計算階碼，階碼共11位，可以表示-1024~1023，因為指數可以為負數，為了方便表示，先加上1023變為非負數，上面的15表示為15+1023=103，二進制為10000001110。符號位，0為正，1為負。所以最終結果是
    0 10000001110 0010110000011100110011001100110011001100110011001100
    顏色與上表對應。
• 3490593表示為float：
  3490593的浮點數為3490593.0。
• 整數化為二進制，為b1101010100001100100001，即1.101010100001100100001×2²¹，由於float的尾數有23位，需要補0，即1.10101010000110010000100×2²¹。
• 計算階碼時，類似double的表示，階碼共8位，表示的范圍是-128～127，為了方便，加上127，上面的21表示為21+127=148=b10010100。
  最終結果是：
  0 10010100 10101010000110010000100
  顏色與上表對應。
• 0.5的二進制表示：
  上面給出了0.4的二進制表示的計算方法：
  0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。
  它是無窮盡的，知道精度合適了為止。然而對於有的數來說，是有窮的，比如
  0.5=1×0.5。
• 整數部分為0，小數部分為0.1，所以0.5的二進制形式是0.1，即1.0 × 2^-1。
• 計算階碼時，用127+(-1)=126=b1111110。
  所以最終結果是：
  0 01111110 00000000000000000000000
  顏色與上表對應。
• -12.5的二進制浮點表示：
• 整數部分為12，即b1100；小數部分為0.5，即b0.1，即1100.10000000000000000000，即1.10010000000000000000000 × 2³。
• 計算階碼，3+127=130，即b10000010，所以最終結果是：
  1 10000010 10010000000000000000000
  顏色與上表對應。
• 逆向求取，1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000轉為十進制：
• 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000為：
  1 01111010 10000000000000000000000
  所以該數為-1.10000000000000000000000 × 2^{01111010-127=-5}=-b0.000011=0.046875
• 有關浮點數和double的精度（http://www.learncpp.com/cpp-tutorial/25-floating-point-numbers/）：
  Variables of type float typically have a precision of about 7 significant digits (which is why everything after that many digits in our answer above is junk). Variables of type double typically have a precision of about 16 significant digits. Variables of type double are named so because they offer approximately double the precision of a float.
  

以上內容均來自http://blog.163.com/yql_bl/blog/static/847851692008112013117685/。