浮点数的二进制表示

• 看了这篇文章才对浮点数的二进制表示有所了解，不过我的目的不是为了软考。
• C/C++编译器都是按照IEEE的浮点数表示法，即一种科学计数法 ，用符号，指数和尾数来表示，底数为2，也就是把浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添加上符号的形式。因为科学技术法 a×b^m的形式，a介于1～10，而浮点数表示法中，a始终为1，所以在最终的表示结果中，这个1被略去。
  具体规格是：
  

  	符号位	阶码	尾数	总长度
  float	1	8	23	32
  double	1	11	52	64

• 下面通过例子来解释上面的表示规格：
• 38414.4表示为double：
  • 分开整数和小数部分，整数化为16进制，0x960E；小数部分为：0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。
    有的小数可以穷尽，有的是永远不会穷尽的，此时只需要提取出各项的系数，即011……，这些项的和加上整数部分共53位就可以了。正如上面所言的，最高为不变的1可以省略，最终是53-1=52位。
    38414.4可以表示为b1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100。
    用科学计数法表示为1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100×2¹⁵。
  • 然后计算阶码，阶码共11位，可以表示-1024~1023，因为指数可以为负数，为了方便表示，先加上1023变为非负数，上面的15表示为15+1023=103，二进制为10000001110。符号位，0为正，1为负。所以最终结果是
    0 10000001110 0010110000011100110011001100110011001100110011001100
    颜色与上表对应。
• 3490593表示为float：
  3490593的浮点数为3490593.0。
• 整数化为二进制，为b1101010100001100100001，即1.101010100001100100001×2²¹，由于float的尾数有23位，需要补0，即1.10101010000110010000100×2²¹。
• 计算阶码时，类似double的表示，阶码共8位，表示的范围是-128～127，为了方便，加上127，上面的21表示为21+127=148=b10010100。
  最终结果是：
  0 10010100 10101010000110010000100
  颜色与上表对应。
• 0.5的二进制表示：
  上面给出了0.4的二进制表示的计算方法：
  0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。
  它是无穷尽的，知道精度合适了为止。然而对于有的数来说，是有穷的，比如
  0.5=1×0.5。
• 整数部分为0，小数部分为0.1，所以0.5的二进制形式是0.1，即1.0 × 2^-1。
• 计算阶码时，用127+(-1)=126=b1111110。
  所以最终结果是：
  0 01111110 00000000000000000000000
  颜色与上表对应。
• -12.5的二进制浮点表示：
• 整数部分为12，即b1100；小数部分为0.5，即b0.1，即1100.10000000000000000000，即1.10010000000000000000000 × 2³。
• 计算阶码，3+127=130，即b10000010，所以最终结果是：
  1 10000010 10010000000000000000000
  颜色与上表对应。
• 逆向求取，1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000转为十进制：
• 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000为：
  1 01111010 10000000000000000000000
  所以该数为-1.10000000000000000000000 × 2^{01111010-127=-5}=-b0.000011=0.046875
• 有关浮点数和double的精度（http://www.learncpp.com/cpp-tutorial/25-floating-point-numbers/）：
  Variables of type float typically have a precision of about 7 significant digits (which is why everything after that many digits in our answer above is junk). Variables of type double typically have a precision of about 16 significant digits. Variables of type double are named so because they offer approximately double the precision of a float.
  

以上内容均来自http://blog.163.com/yql_bl/blog/static/847851692008112013117685/。