O(N)的時間尋找最大的K個數

尋找N個數中最大的K個數，本質上就是尋找最大的K個數中最小的那個，也就是第K大的數。

可以使用二分搜索的策略來尋找N個數中的第K大的數。對於一個給定的數p，可以在O（N）的時間復雜度內找出所有不小於p的數。

尋找第k大的元素：

#include <iostream>
using namespace std;

//快速排序的划分函數
int partition(int a[],int l,int r)
{
    int i,j,x,temp;
    i = l;
    j = r+1;
    x = a[l];
    //將>=x的元素換到左邊區域
    //將<=x的元素換到右邊區域
    while (1)
    {
        while(a[++i] > x);
        while(a[--j] < x);
        if(i >= j) break;
        temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
    a[l] = a[j];
    a[j] = x;
    return j;
}

//隨機划分函數
int random_partition(int a[],int l,int r)
{
    int i = l+rand()%(r-l+1);//生產隨機數
    int temp = a[i];
    a[i] = a[l];
    a[l] = temp;
    return partition(a,l,r);//調用划分函數
}

//線性尋找第k大的數
int random_select(int a[],int l,int r,int k)
{
    int i,j;
    if (l == r) //遞歸結束
    {
        return a[l];
    }
    i = random_partition(a,l,r);//划分
    j = i-l+1;
    if(k == j) //遞歸結束，找到第K大的數
        return a[i];
    if(k < j)
    {
        return random_select(a,l,i-1,k);//遞歸調用，在前面部分查找第K大的數
    }
    else
        return random_select(a,i+1,r,k-j);//遞歸調用，在后面部分查找第K大的數
}

int main()
{
    int a[]={1,2,3,4,6,6,7,8,10,10};

    cout<<random_select(a,0,9,1)<<endl;
    cout<<random_select(a,0,9,5)<<endl;
    return 0;
}

如果所有N個數都是正整數，且它們的取值范圍不太大，可以考慮申請空間，記錄每個整數出現的次數，然后再從大到小取最大的K個。比如，所有整數都在（0, MAXN）區間中的話，利用一個數組count[MAXN]來記錄每個整數出現的個數（count[i]表示整數i在所有整數中出現的個數）。只需要掃描一遍就可以得到count數組。然后，尋找第K大的元素：

for(sumCount = 0, v = MAXN-1; v >= 0; v--)
{
    sumCount += count[v];
    if(sumCount >= K)
        break;
}
return v;

極端情況下，如果N個整數各不相同，我們甚至只需要一個bit來存儲這個整數是否存在（bit位為1或為0），這樣使用的空間可以大大壓縮。

當然也可以使用像計數排序、桶排序等這些以O(N)的時間排序算法也可以尋找第K大的數，但這也是以空間換時間為代價的。

實際情況下，並不一定保證所有元素都是正整數，且取值范圍不太大。上面的方法仍然可以推廣使用。如果N個數中最大的數Vmax，最小的Vmin，我們可以把這個區間[Vmax,Vmin]分成M塊，每個小區間的跨度為d=(Vmax-Vmin)/M，即[Vmin,Vmin+d],[Vmin+d,Vmin+2d]......然后，掃描一遍所有元素，統計各個小區間中的元素個數，就可以知道第K大的元素在哪一個小區間。然后，再在那個小區間中找第K大的數（此時這個小區間中，第K大的數可能就是第T大的數了，這個T和每個小區間的個數有關）。我們需要找一個盡量大的M，但M的取值受到內存的限制。