【算法題】rand5()產生rand7()

前兩天，睡覺前，偶爾翻起算法導論，看到隨機函數這一塊內容，里面有一個練習題．

5.1-2 描述random(a,b)過程的一種實現，它只調用random(0,1).作為a和b的函數，你的程序的期望運行時間是多少？

注：random(a,b)為產生a,a+1,a+2,...,b的函數發生器，且產生各整數的概率相等，同為1/(b - a + 1)．

看到這個題目時，似曾相識，腦海浮現了利用random(0,1)產生0或1，從而組成二進制數，來完成random(a,b)的實現．但是細想以后，感覺有個問題在腦海中有點不明不白．

運行random(0,1)函數k次，使得2^k>=(b-a+1)，將得到[0,2^k)的整數區間，如何將[0,2^k)映射到[a,b]的整數區間，保證產生各整數的概率相等，同為1/(b-a+1).

1.當存在k使得2k=(b-a+1)時，只需將產生的二進制數與[a,b]整數一一對應，即可滿足概率同為1/(b-a+1)的要求．

例如，random(3,6)，k=2.　此時，對應關系可為00~3,01~4,10~5,11~6．產生的概率為1/4.

2.當不存在k使得2k=(b-a+1)時，產生[0,2^k)區間整數的概率為1/2^k，小於1/(b-a+1)．[0,2^k)如何映射到[a,b]整數區間．

思路一：擴大[0,2^k)區間，使得2k可以被(b-a+1)整除，這樣可以把[0,2^k)分成N段時，每一段對應[a,b]里的一個整數．

但這個思路，是不可行的，因為不存在這樣的k值．要么2k=(b-a+1)，要么2k>(b-a+1)且不可被(b-a+1)整除．

思路二：參取截斷映射，即 [0,2^k) 的前部分映射到[a,b]，這樣雖然可以達到產生整數的概率相等，但不等於1/(b-a+1)，還有如果產生[0,2^k)后部分的值如何處理．

這個思路，是可行的，如果產生后部分的值，就繼續調用自身，重新random.從結果輸出分析，最終random(a,b)最終輸出的只有[a,b]里的整數，而且每個整數的概率相等，因而其產生的概率值是1/(b-a+1).

具體的實現代碼如下：

int random(int a,int b)
{
    int m = 1;
    int len = b - a + 1;
    int k = 0;
    //計算最小的正整數k,使2^k >= len
    while(m < len)
    {
        k++;
        m *= 2;
    }
    m = 0;
    for(int i = 0;i < k;i++)
    {
        m += random(0,1) * (1<<i);
    }
    if(m + 1 > len)        
    {
        return random(a,b);
    }
    else
    {
        return m + a;
    }
}

由於冗余的存在，該方法運行時間最壞的情況是無究，就是無限地遞歸調用自身．運行時間的下限是O(log(b-a+1)).

由上述的練習題可擴展出更多類似的問題．

利用rand5()產生rand7()．rand5()產生1到5的整數，rand7()產生1到7的整數．

解決思路與上述的練習題是一樣的．利用rand5()產生的一個整數空間，然后將其映射到[1,7]的整數空間上，映射時保證概率相等，且等於1/7.

下面介紹幾個有意思的實現．

1.利用預置數組　　該方法簡單，易理解，但是不具擴展性，需要額外存儲空間．

int rand7()
{
    int vals[5][5] = {
        {1,2,3,4,5},
        {6,7,1,2,3},
        {4,5,6,7,1},
        {2,3,4,5,6},
        {7,0,0,0,0}
    };
    int result = 0;
    while(result == 0)
    {
        int i = rand5();
        int j = rand5();
        result = vals[i - 1][j - 1];
    }
    return result;
}

2.常規實現方法　　可擴展，主要分為三步，構造大的整數區間，限制整數區間，最后映射整數區間．

int rand7()
{
    int i;
    do{
        i = 5 * (rand5() - 1) + rand5();    //產生[1,25]的整數區間
    }while(i > 21);                            //將[1,25]整數區間控制於[1,21]
    return i%7 + 1;                            //將[1,21]映射到[1,7]
}

3.看似正確的方法　其實錯誤的方法

int rand7()
{
    int i;
    i = rand5() + rand5() + rand5() + rand5() + rand5() + rand5() + rand5();
    return i%7 + 1;
}

與方法2的思路一樣，構造新的整數區間，但是方法3中構造的整數區間並不是等概率的．

第4代碼中，將會產生5^7種可能的計算，但最終這些可能映射到[7,35]的整數區間中，但是[7,35]區間內整數的產生的概率並不相等．

例如，通過累加區間[0,1]三次，可以得到[0,3]的區間，但是[0,3]每個整數的概率並不相等，分別為1/8,3/8,3/8,1/8．

 

參考資料：

算法導論

http://stackoverflow.com/questions/137783/expand-a-random-range-from-1-5-to-1-7?page=1&tab=votes#tab-top

 

 

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