[LeetCode] 470. Implement Rand10() Using Rand7() 使用Rand7()來實現Rand10()

 

Given a function rand7 which generates a uniform random integer in the range 1 to 7, write a function rand10 which generates a uniform random integer in the range 1 to 10.

Do NOT use system's Math.random().

 

Example 1:

Input: 1
Output: [7] 

Example 2:

Input: 2
Output: [8,4] 

Example 3:

Input: 3
Output: [8,1,10] 

 

Note:

1. rand7 is predefined.
2. Each testcase has one argument: n, the number of times that rand10 is called.

 

Follow up:

1. What is the expected value for the number of calls to rand7() function?
2. Could you minimize the number of calls to rand7()?

 

這道題給了我們一個隨機生成 [1, 7] 內數字的函數 rand7()，需要利用其來生成一個能隨機生成 [1, 10] 內數字的函數 rand10()，注意這里的隨機生成的意思是等概率生成范圍內的數字。這是一道很有意思的題目，由於 rand7() 只能生成1到7之間的數字，所以 8，9，10 這三個沒法生成，那么怎么辦？大多數人可能第一個想法就是，再用一個唄，然后把兩次的結果加起來，范圍不就擴大了么，擴大成了 [2, 14] 之間，然后如果再減去1，范圍不就是 [1, 13] 了么。想法不錯，但是有個問題，這個范圍內的每個數字生成的概率不是都相等的，為啥這么說呢，我們來舉個簡單的例子看下，就比如說 rand2()，我們知道其可以生成兩個數字1和2，且每個的概率都是 1/2。那么對於 (rand2() - 1) + rand2()呢，看一下：

rand2() - 1 + rand()2  =   ?
   1            1          1
   1            2          2
   2            1          2
   2            2          3

我們發現，生成數字范圍 [1, 3] 之間的數字並不是等概率大，其中2出現的概率為 1/2，1和3分別為 1/4。這就不隨機了。問題出在哪里了呢，如果直接相加，不同組合可能會產生相同的數字，比如 1+2 和 2+1 都是3。所以需要給第一個 rand2() 升一個維度，讓其乘上一個數字，再相加。比如對於 (rand2() - 1) * 2 + rand2()，如下：

（rand2() - 1） * 2 + rand()2  =   ?
     1                  1         1
     1                  2         2
     2                  1         3
     2                  2         4

這時右邊生成的 1，2，3，4 就是等概率出現的了。這樣就通過使用 rand2()，來生成 rand4()了。那么反過來想一下，可以通過 rand4() 來生成 rand2()，其實更加簡單，我們只需通過 rand4() % 2 + 1 即可，如下：

rand4() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1

同理，我們也可以通過 rand6() 來生成 rand2()，我們只需通過 rand6() % 2 + 1 即可，如下：

 rand6() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1
   5               2
   6               1

所以，回到這道題，我們可以先湊出 rand10*N()，然后再通過 rand10*N() % 10 + 1 來獲得 rand10()。那么，只需要將 rand7() 轉化為 rand10*N() 即可，根據前面的講解，我們轉化也必須要保持等概率，那么就可以變化為 (rand7() - 1) * 7 + rand7()，就轉為了 rand49()。但是 49 不是 10 的倍數，不過 49 包括好幾個 10 的倍數，比如 40，30，20，10 等。這里，我們需要把 rand49() 轉為 rand40()，需要用到 拒絕采樣 Rejection Sampling，總感覺名字很奇怪，之前都沒有聽說過這個采樣方法，刷題也是個不停學習新東西的過程呢。簡單來說，這種采樣方法就是隨機到需要的數字就接受，不是需要的就拒絕，並重新采樣，這樣還能保持等概率，具體的證明這里就不講解了，博主也不會，有興趣的童鞋們可以去 Google 一下～ 這里直接用結論就好啦，當用  rand49() 生成一個 [1, 49] 范圍內的隨機數，如果其在 [1, 40] 范圍內，我們就將其轉為 rand10() 范圍內的數字，直接對 10 去余並加1，返回即可。如果不是，則繼續循環即可，參見代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
        }
    }
};

 

我們可以不用 while 循環，而采用調用遞歸函數，從而兩行就搞定，叼不叼～

 

解法二：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
        return (num <= 40) ? (num % 10 + 1) : rand10();
    }
};

 

我們還可以對上面的解法進行一下優化，因為說實話在 [1, 49] 的范圍內隨機到 [41, 49] 內的數字概率還是挺高的，我們可以做進一步的處理，就是當循環到這九個數字的時候，我們不重新采樣，而是做進一步的處理，將采樣到的數字減去 40，這樣就相當於有了個 rand9()，那么通過 (rand9() - 1) * 7 + rand7()，可以變成 rand63()，對 rand63() 進行拒絕采樣，得到 rand60()，從而又可以得到 rand10()了，此時還會多余出3個數字，[61, 63]，通過減去 60，得到 rand3()，再通過變換 (rand3() - 1) * 7 + rand7() 得到 rand21()，此時再次調用拒絕采樣，得到 rand20()，進而得到 rand10()，此時就只多余出一個 21，重復整個循環的概率就變的很小了，參見代碼如下：

 

解法三：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int a = rand7(), b = rand7();
            int num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
            a = num - 40, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 60) return num % 10 + 1;
            a = num - 60, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 20) return num % 10 + 1;
        }
    }
};

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/470

 

類似題目：

Generate Random Point in a Circle

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/discuss/152282/C%2B%2B-2-line

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/discuss/175450/Java-Solution-explain-this-problem-with-2D-matrix

 

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