圖像傅立葉變換的物理意義
圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯
度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；
而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應
的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限
的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的頻譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換
是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖
像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，
傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅
立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數
傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的
采樣得到一系列點的集合，通常用一個二維矩陣表示空間上各點，記為 z=f(x,y)
。又因空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系
就必須由梯度來表示，這樣我們才能通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對
應關系。
為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖
像梯度的分布圖。當然，頻譜圖上的各點與圖像上各點並不存在一一對應的關系，
這一點與是否采取移頻處理沒有關系。
傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，其意義是指圖像上某一點與鄰域
點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的
低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否
則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直
觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔
和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小）；反之，如果頻譜圖中亮的
點數多，那么實際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。
對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布
的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它
可以分離出有周期性規律的干擾信號，比如正弦干擾。一幅頻譜圖如果帶有正弦干
擾，移頻到原點上就可以看出，除了中心以外還存在以另一點為中心、對稱分布的亮
點集合，這個集合就是干擾噪音產生的。這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻
濾波器消除干擾
另外我還想說明以下幾點：
1、圖像經過二維傅立葉變換后，其變換系數矩陣具有如下性質：若變換矩陣Fn原
點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所
用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數矩
陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量
集中低頻區域。
2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮;平移之后中間部分是低頻
，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）
一個例子：
img = imread('fuliye.jpg');%讀入圖像
subplot(2,2,1),imshow(img);%顯示
f=rgb2gray(img);%轉為灰度圖
subplot(2,2,2),imshow(f)%顯示
F=fft2(f);%快速傅里葉變換
FS=fftshift(F);%轉移到中心
S=log(1+abs(FS));
subplot(2,2,3);imshow(S,[])%顯示
效果：
