傅里葉級數
傅里葉在他的專著《熱的解析理論》中提出，任何一個周期函數都可以表示為若干個正弦函數的和，即：
\[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t))$$其中$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$，$T$為函數的周期。$a_n/b_n$和$n$分別控制了正弦波的振幅與頻率。這就是傅里葉級數的**三角形式**。 我們還可以用**復指數形式[^1]**和**積分[^2]**來表示傅里葉級數： $$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{in\omega t} $$ $$ F_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-in\omega t} dt $$其中$F$就是周期函數$f$的**傅里葉級數(Fourier Series, FS)**。 **如果說$f$是某段信號在時域上的表現，$F$就是其在頻域上的表現。傅里葉變換實現的就是從時域到頻域的變換。**  ##傅里葉變換 對於非周期函數，我們可以將其視為一個以$(-\infty,\infty)$為一個周期的周期函數。 經過數學推導，得到： $$ F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t} dt$$ $$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t} d\omega $$ 這叫做**傅里葉變換(Fouier Transform, FT)**及**傅里葉逆變換(IFT)**。 注意，其結果都可能是復數。 這時，$F$不再是離散的級數，而是一個連續的函數了。 與傅里葉級數的比較： - 傅里葉級數：周期信號，離散頻率，頻率分量的值 - 傅里葉變換：非周期信號，連續頻率，頻率分量的**密度** ##卷積定理 卷積定理有兩個： $$ FT[f_1(t)*f_2(t)]=FT[f_1(t)]\cdot FT[f_2(t)] $$ $$ IFT[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=\frac{1}{2\pi}IFT[F_1(\omega)]\cdot IFT[F_2(\omega)] $$ 分別稱為**時域卷積定理**和**頻域卷積定理**。 > 下面對時域卷積定理進行證明。 \]
\begin{align}
FT[f_1(t)f_2(t)] &= FT[\int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau] \
&= \int_{-\infty}^\infty[\int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau]e^{-i\omega t} dt \
&= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)[\int_{-\infty}^\infty f_2(t-\tau)e^{-i\omega t} dt]d\tau \
&= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)[\int_{-\infty}^\infty f_2(t)e^{-i\omega (t+\tau)} dt]d\tau \
&= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)e^{-i\omega\tau}[\int_{-\infty}^\infty f_2(t)e^{-i\omega t} dt]d\tau \
&= \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)e^{-i\omega\tau}F_2(\omega) d\tau \
&= F_2(\omega) \int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)e^{-i\omega\tau} d\tau \
&= F_1(\omega)F_2(\omega)
\end{align*}
\[ 其實基本上就是直接展開啦。頻域卷積定理的證明也是類似的。 可以觀察到，在一個域上進行卷積，相當於在另一個域上進行點積。這啟發我們用復雜度低的點積運算來代替復雜度高的卷積運算。 ##離散時間傅里葉變換 以上的內容都是針對連續信息/連續函數的。但是，計算機是無法存儲連續的信息的，只能每隔時間$T$對信息進行采樣。也就是說，計算機把**連續的函數**轉化為了**離散的序列**。對於這樣一個序列進行的傅里葉變換就稱為**離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fouier Transform, DTFT)**。 $$ F(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(nT)e^{-i\omega nT } $$ 我們其實是用離散的采樣點$nT$代替了FT中連續的時間$t$。進一步，由於采樣的結果本質上是一個序列，那么我們可以把序列中連續兩項的間隔，也就是采樣頻率$T$看做**單位“1”**。我們用$x(n)$表示采樣結果序列，那么有： $$ X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n} $$ 事實上，這個將$T$轉化為“1”的過程，就是模擬信號轉化為數字信號的過程。 其逆變換IDTFT的表達式為： $$ x(n)=\int_{-\pi}^\pi X(\omega)e^{i\omega n} d\omega\]
離散傅里葉變換
通過DTFT，我們已經能夠處理離散的采樣信號了。但由於采樣結果序列依然是無限長的，計算機還是無法進行處理。從DTFT的式子中可以看出，\(X(\omega)\)是以\(2\pi\)為周期的，那么解決的方法很簡單：我們只從時域\((0,2\pi)\)上均勻地取\(N\)個點，用這\(N\)個點計算出頻域上的\(N\)個點，這\(N\)個點就可以作為頻域上的一個周期。
\[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \quad (k=0,1,2...,N-1)$$ 其中$W_N=e^{-i\frac{2\pi}{N}}$，也就是n次單位根。 其實DFT就是將DTFT中的對$\omega$積分替換為對$\frac{2k\pi}{N}$求和[^3]。 這樣，我們就得到了一個$N$點信號到$N$點頻域的離散變換，這個變換就叫做**離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)**。 其逆變換的表達式為： $$ x(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk} \quad (n=0,1,2...,N-1)\]
FS, FT, DTFT, DFT的比較
| 變換 |
特點 |
| 傅里葉級數FS |
周期信號，離散頻率，頻率分量的值 |
| 傅里葉變換FT |
非周期信號，連續頻率，頻率分量的密度 |
| 離散時間傅里葉變換DTFT |
非周期采樣信號，連續頻率，頻率分量的密度 |
| 離散傅里葉變換DFT |
有限長度非周期采樣信號，離散頻率，對於DTFT頻譜頻率分量的密度 |
快速傅里葉變換
朴素進行DFT的復雜度是\(O(n^2)\)，這可以從其表達式中看出。事實上我們有一種利用分治進行DFT的\(O(nlogn)\)算法，這就是常常被應用在OI中的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)。
為了方便，以下若不做特殊說明，\(N\)均是\(2\)的整數次冪，這可以通過在原來的序列后補若干個\(0\)至有\(2\)的整數次冪項來實現。
\[\begin{align} X(k) &= \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \\ &= \sum_{n=0,n+=2}^{N-2}x(n)W_N^{nk} + \sum_{n=1,n+=2}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \\ &= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_N^{2nk} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_N^{(2n+1)k} \\ &= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_{\frac{N}{2}}^{nk} + W_N\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_{\frac{N}{2}}^{nk} \end{align} $$ 通過以上變形，原問題變成了兩個規模減半的子問題。合並兩個子問題的復雜度是$O(1)$，分治層數為$O(logn)$，所以計算一項的復雜度是$O(logn)$，計算$n$項的復雜度是$O(nlogn)$。 ##例題：多項式乘法 設$n$次多項式$f_1(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$和$m$次多項式$f_2(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$的積為$n+m$次多項式$f_3(x)=\sum_{i=0}^{n+m}c_ix^i$。給出序列$a,b$，求序列$c$。 容易知道$c_k=\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}$，事實上序列$c$就是序列$a$和序列$b$的**離散卷積**。 那么根據卷積定理，$c_k=IDFT[DFT[c_k]]=IDFT[DFT[a_k*b_k]]=IDFT[DFT[a_k]\cdot DFT[b_k]]$ 所以我們只要將序列$a$和$b$DTFT到頻域，點積后再IDTFT回時域，就可以得到序列$c$啦。 > 時間復雜度$O((n+m)log(n+m))$。 ##快速數論變換 在我們進行DTFT的過程中，使用的是復數。如果精度要求很高（比如求方案數），用復數來進行FFT就會出現誤差。所以我們需要找到一個與復數單位根有相似性質的替代。 注意到FFT能夠進行的根本因素就是復數單位根具有$W_N^2=W_{\frac{N}{2}}$這一性質。事實上，模意義域下的原根[^4]就是復數單位根的一個很好的替代。 定義$W_N=g^{\frac{P-1}{N}}(mod \ P)$，則有： $$ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \quad (mod \ P)$$ 這就是**快速數論變換(Number Theory Transform, NTT)**。 進行NTT時，最常用的模數就是998244353，其原根$g=3$。 ##Code [UOJ34 - 多項式乘法](http://www.cnblogs.com/VisJiao/p/uoj34.html) [^1]:$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ [^2]:$\int_a^b f(x)dx$表示對$x\in(a,b)$的$f(x)$進行積分。 [^3]: 把這個式子轉化成類似DTFT的形式： $$ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-i \frac{2k\pi}{N}n} $$ $\frac{2k\pi}{N}$代替的就是DTFT中$\omega$的位置。 [^4]: $P$的原根$g$定義為使得$g^0,g^1,...,g^{P-2} \ (mod \ P)$互不相同的數。\]
