動態規划方法生成最優二叉查找樹

1、概念引入

　　基於統計先驗知識，我們可統計出一個數表（集合）中各元素的查找概率，理解為集合各元素的出現頻率。比如中文輸入法字庫中各詞條（單字、詞組等）的先驗概率，針對用戶習慣可以自動調整詞頻——所謂動態調頻、高頻先現原則，以減少用戶翻查次數。這就是最優二叉查找樹問題：查找過程中鍵值比較次數最少，或者說希望用最少的鍵值比較次數找到每個關鍵碼（鍵值）。為解決這樣的問題，顯然需要對集合的每個元素賦予一個特殊屬性——查找概率。這樣我們就需要構造一顆最優二叉查找樹。

 

2、問題給出

　　n個鍵{a1,a2,a3......an},其相應的查找概率為{p1,p2,p3......pn}。構成最優BST,表示為T ₁ ⁿ ，求這棵樹的平均查找次數C[1, n]（耗費最低)。換言之，如何構造這棵最優BST，使得

C[1, n] 最小。

 

3、分段方法

　　 

　　　　動態規划法策略是將問題分成多個階段，逐段推進計算，后繼實例解由其直接前趨實例解計算得到。對於最優BST問題，利用減一技術和最優性原則，如果前n-1個節點構成最優BST，加入一個節點 a n 后要求構成規模n的最優BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 遞歸，問題可解。自底向上計算：C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。為不失一般性用

C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}構成的BST的耗費。其中1≤i ≤j ≤n。這棵樹表示為Tij。從中選擇一個鍵ak作根節點，它的左子樹為Tik-1，右子樹為Tk+1j。要求選擇的k 使得整棵樹的平均查找次數C[i, j]最小。左右子樹遞歸執行此過程。（根的生成過程）

 

 4、遞推計算式

 

 

　　5、基本算法如下

　　

6、具體實現代碼（其中所有數據都存放在2.txt中，其內容為：

其中5表示有5個節點，其他數據表示各個節點出現的概率；

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 9999
void OptimalBST(int,float*,float**,int**);
void OptimalBSTPrint(int,int,int**);
void main()
{
    int i,num;
    FILE *point;
    //所有數據均從2.txt中獲取，2.txt中第一個數據表示節點個數；從第二個數據開始表示各個節點的概率
    point=fopen("2.txt","r");
    if(point==NULL)
    {
        printf("cannot open 2.txt.\n");
        exit(-1);
    }
    fscanf(point,"%d",&num);
    printf("%d\n",num);
    float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
    for(i=1;i<num+1;i++)
        fscanf(point,"%f",&p[i]);
    //創建主表；
    float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));
    for(i=0;i<num+2;i++)
        c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
    //創建根表；
    int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));
    for(i=0;i<num+2;i++)
        r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
    //動態規划實現最優二叉查找樹的期望代價求解。。
    OptimalBST(num,p,c,r);
    printf("該最優二叉查找樹的期望代價為：%f \n",c[1][num]);
    //給出最優二叉查找樹的中序遍歷結果；
    printf("構造成的最優二叉查找樹的中序遍歷結果為：");
    OptimalBSTPrint(1,4,r);

}
void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r)
{
    int d,i,j,k,s,kmin;
    float temp,sum;
    for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化
    {
    
        c[i][i-1]=0;
        c[i][i]=p[i];
        r[i][i]=i;
    }
    c[num+1][num]=0;
    for(d=1;d<=num-1;d++)//加入節點序列
    {
        for(i=1;i<=num-d;i++)
        {
            j=i+d;
            temp=max;
            for(k=i;k<=j;k++)//找最優根
            {
                if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp)
                {
                    temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];
                    kmin=k;
                }
            }
            r[i][j]=kmin;//記錄最優根
            sum=p[i];
            for(s=i+1;s<=j;s++)
                sum+=p[s];
            c[i][j]=temp+sum;
        }
    }
}
//采用遞歸方式實現最優根的輸出，最優根都是保存在r[i][j]中的。。。
void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r)
{

    int k;
    if(first<=last)
    {
        k=r[first][last];
        printf("%d  ",k);
        OptimalBSTPrint(first,k-1,r);
        OptimalBSTPrint(k+1,last,r);
    }
}

7、最終運行結果：

8、參考文獻：

（1）算法導論

（2）數據結構 嚴蔚敏

（3）網上下載的一個ppt（算法設計與分析，第八章）