矩陣的定義及其運算規則

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2.1 矩陣的定義及其運算規則

2.1.1 矩陣的定義
    一般而言，所謂矩陣就是由一組數的全體，在括號（）內排列成m行n 列（橫的稱行，縱的稱列）的一個數表，並稱它為m ×n陣。
    矩陣通常是用大寫字母A 、B …來表示。例如一個m 行n 列的矩陣可以簡記為：，或
。即：
                    （2-3）
    我們稱（2-3）式中的為矩陣A的元素，a的第一個注腳字母，表示矩陣的行數，第二個注腳字母j（j＝1，2，…，n）表示矩陣的列數。
    當m＝n時，則稱為n階方陣，並用表示。當矩陣（a_ij）的元素僅有一行或一列時，則稱它為行矩陣或列矩陣。設兩個矩陣，有相同的行數和相同的列數，而且它們的對應元素一一相等，即，則稱該兩矩陣相等，記為A＝B。

2.1.2 三角形矩陣
    由i＝j的元素組成的對角線為主對角線，構成這個主對角線的元素稱為主對角線元素。
    如果在方陣中主對角線一側的元素全為零，而另外一側的元素不為零或不全為零，則該矩陣叫做三角形矩陣。例如，以下矩陣都是三角形矩陣：，，，。

2.1.3 單位矩陣與零矩陣
    在方陣中，如果只有的元素不等於零，而其他元素全為零，如：

    則稱為對角矩陣，可記為。如果在對角矩陣中所有的彼此都相等且均為1，如：，則稱為單位矩陣。單位矩陣常用E來表示，即：

    當矩陣中所有的元素都等於零時，叫做零矩陣，並用符號“0”來表示。

2.1.4 矩陣的加法

    矩陣A＝（a_ij）_m_×_n和B＝（b_ij）_m_×_n相加時，必須要有相同的行數和列數。如以C＝（c_ij）_m_×_n表示矩陣A及B的和，則有：


式中：。即矩陣C的元素等於矩陣A和B的對應元素之和。
    由上述定義可知，矩陣的加法具有下列性質（設A、B、C都是m×n矩陣）：
    （1）交換律：A＋B＝B＋A
    （2）結合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）

2.1.5 數與矩陣的乘法

    我們定義用k右乘矩陣A或左乘矩陣A，其積均等於矩陣中的所有元素都乘上k之后所得的矩陣。如：



    由上述定義可知，數與矩陣相乘具有下列性質：設A、B都是m×n矩陣，k、h為任意常數，則：
    （1） k（A＋B）＝kA＋kB
    （2）（k＋h）A＝kA＋hA
    （3） k（hA）＝khA

2.1.6 矩陣的乘法

    若矩陣乘矩陣，則只有在前者的列數等於后者的行數時才有意義。矩陣的元素的計算方法定義為第一個矩陣第i行的元素與第二個矩陣第j列元素對應乘積的和。若：



    則矩陣的元素由定義知其計算公式為：
                         （2-4）

【例2-1】設有兩矩陣為：，，試求該兩矩陣的積。
     【解】由於A矩陣的列數等於B矩陣的行數，故可乘，其結果設為C：
其中：
【例2-2】已知：A＝，B＝，求A、B兩個矩陣的積。
    【解】計算結果如下：矩陣的乘法具有下列性質：
    （1）通常矩陣的乘積是不可交換的。
    （2）矩陣的乘法是可結合的。
    （3）設A是m×n矩陣， B、C是兩個n×t矩陣，則有：A（B＋C）＝AB＋AC。
    （4）設A是m×n矩陣，B是n×t矩陣。則對任意常數k有：k（AB）＝（kA）B＝A（kB）。

【例2-3】   用矩陣表示的某一組方程為：
                                         （2-5）
    式中：
                （2-6）
    試將矩陣公式展開，列出方程組。

    【解】現將（2-6）式代入（2-5）式得：

                                       （2-7）
將上式右邊計算整理得：
                                           （2-8）
可得方程組：

     可見，上述方程組可以寫成（2-5）式的矩陣形式。上述方程組就是測量平差中的誤差方程組，故知（2-5）式即為誤差方程組的矩陣表達式。式中稱為改正數陣，稱為誤差方程組的系數陣，稱為未知數陣，稱為誤差方程組的常數項陣。

【例2-4】設由n個觀測值列出r個條件式如下，試用矩陣表示。

【解】現記：                 （2-9）
    則條件方程組可用矩陣表示成：
                                                                  （2-10）
上式中稱為條件方程組的系數陣，稱為改正數陣，稱為條件方程組的閉合差列陣。