矩陣的定義及基本運算

前言

　　矩陣在數學和計算機科學中都有非常重要的作用，這篇博客將會向你講述矩陣的定義及它的基本運算。

一、定義

由 m × n 個數排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣，簡稱m × n矩陣。記作：

這m×n 個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數aij位於矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的(i,j)元，以數 aij為(i,j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣A也記作Amn。           

                                                                                                       ——摘自百度百科

　　上面這段話很好地定義了矩陣（迷茫.jpg），如果要透徹地理解矩陣的定義，不妨去了解一下矩陣的歷史。

　　為了方便，一般我們都把矩陣封裝成一個結構體，貼代碼：

struct matrix{
    int zhen[n][n];//n為矩陣的大小，一般來說，只要不是毒瘤題，直接把數據儲存進一個四四方方的矩陣里，是不會爆內存的，也方便我們進行后期的計算
    void New(){    //初始化
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                zhen[i][j]=0;
            }
        }
    }
}

 

二、加（減）法

　　兩個大小為m*n的矩陣A，B相加,則結果矩陣C可以表示為

　　這個部分挺簡單的（所以就不貼代碼了），就是對應相加，減法其實可以就是加負數。

三、乘法

　　設A為p*m大小的矩陣，B為n*p大小的矩陣（注意：如果不滿足這個條件，則不能相乘），那么相乘結果C的第（i，j）項=$A_{i,1}*B_{1,i}+A_{i,2}*B_{2,i}+A_{i,3}*B_{3,i}+…+A_{i,p}*B_{p,i}$，可以簡寫為C=AB。

　　這樣說也許有些令人迷惑，但是我們可以從矩陣最初的使用目的來理解。最初，矩陣是用來解線性方程組的。如下面這個方程組：

　　可以表示為:

　　你看，是不是9和x相乘，2和y相相乘，相加等於15，然后，是不是，是不是就變成了方程組中的第一個式子！同樣的，下面的式子也是以此類推。

　　那么接下來就貼代碼吧：

matrix mul(matrix a,matrix b){//其實也可以重載運算符的
    matrix ans;
    ans.New(0);//別忘記初始化
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=n;k++){
                ans.zhen[i][j]+=(a.zhen[i][k]*b.zhen[k][j]);//根據定義進行計算
            }
        }
    }
    return ans;
}

 

　　乘法是矩陣中最重要的基本運算，許多更高級的對矩陣的應用，幾乎都是以矩陣乘法為基礎的。

　　矩陣乘法滿足乘法結合律，即$(AB)C=A(BC)$。

　　證明：

　　　　設(AB)C=X，A(BC)=Y，B為m*n大小的矩陣。

　　　　$X_{i,j}=\sum_{k=1}^{n} (AB)_{i,k}C_{k,j}=\sum_{l=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}A_{i,l}B_{l,k}C_{k,j}$　　　　　

　　　　$Y_{i,j}=\sum_{l=1}^{m}A_{i,l}(BC)_{l,j}=\sum_{l=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}A_{i,l}B_{l,k}C_{k,j}$

　　　　所以，$X_{i,j}=Y_{i,j}$

　　　　證畢

　　要注意的是，矩陣乘法不滿足交換律，所以在做題時，要特別注意相乘的順序。至於證偽，反例其實挺好找的，就不列舉出來了。

后言

　　矩陣作為一種強有力的工具，這篇文章僅僅介紹了基本使用方法，關於矩陣的具體運用，我會在另寫一篇博文。

　　本人水平有限，如果出現錯誤，歡迎在評論區指正。如果確實幫助到你的話，推薦是對我最大的支持！