約瑟夫環問題（基本）

n個人圍成圈，依次編號為1,2,..,n，現在從1號開始依次報數，當報到m時，報m的人退出，下一個人重新從1報起，循環下去，問最后剩下那個人的編號是多少？

遞歸法

參見百度百科：Josephus(約瑟夫)問題的數學方法

遞推式：

           

將這些人的編號用對總人數取模所得余數代替（即原編號減一），其中 Fn 表示n個人的環，最后剩下的那個人的編號。

由這個遞推式不難寫出相應代碼：

/* 約瑟夫環問題 */
# include <stdio.h>
int main()
{
    int m, n, i, s;

    while (~scanf("%d%d", &m, &n))
    {
        s = 0;          // F1 = 0;
        for (i = 2; i <= n; ++i)
            s = (s + m) % i;
        printf("%d\n", s+1);       // 原問題的編號是從1開始的
    }

    return 0;
}

上述代碼的復雜度為O(n)。

模擬法

采用循環鏈表進行模擬題目描述的過程，退出通過刪除節點表示；

使用鏈表模擬時，維護一個充當報數角色的變量 i ，每當 i 等於 m 時，重置 i 為 1；

循環終止的條件是只剩余一個節點（p->next = p），或者已經刪除了 n-1 個節點；

由於每次刪除一個節點需要報夠 m 次數（遍歷 m 個節點），一共要刪除 n-1 個數，所以鏈表模擬的復雜度為O(m*n)。

/* 約瑟夫環問題——鏈表模擬*/
# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>

typedef struct node
{
    int id;
    struct node* next;
} node;

int main()
{
    int m, n, i;
    node *p, *q, *head;

    while (~scanf("%d%d", &m, &n))
    {
        // 創建含 n 個節點的循環鏈表，初始化編號
        head = (node *)malloc(sizeof(node));
        head->id = 1;
        q = head;
        for (i = 2; i <= n; ++i)
        {
            p = (node *)malloc(sizeof(node));
            p->id = i;
            q->next = p;
            q = p;
        }
        q->next = head;

        // 模擬退出過程
         i = 1;
        p = head;
        while (p->next != p)
        {
            q = p;
            p = p->next;
            ++i;
            if (i == m)         //delete(p); i = 1;
            {
                q->next = p->next;
                free(p);
                p = q->next;
                i = 1;
            }
        }

        // 打印剩余節點的編號
        printf("%d\n", p->id);
       free(p);
    }

    return 0;
}

擴展

當最先報數的那個人編號不是 1 時，對於遞歸法，需要對結果進行調整，對於鏈表只需要將循環起點的 head 改成相應編號的指針；

當報數前去掉一個編號為 k 的人，並從 k+1 開始報數時，可以認為從某個人報起，到編號為 k 時，剛好為 m ，因此去掉了這個人，這樣對應上述遞歸方法的結果為：(s+1) + (m-k)，並將這個結果的范圍調整到 [1, n] 內。