趣味算法--約瑟夫環問題

問題描述

已知n個人（以編號1,2,3,...,n分別表示）圍坐在一張圓桌上。指定編號為k的人開始從1報數，數到m的那個人出列；出列那個人的下一位又從1開始報數，數到m的那個人出列；以此規則重復下去，直到圓桌上的人全部出列。

分析解決

解決方法主要有邏輯分析、數學分析法。

邏輯分析：就是按照游戲規則一個個報數，報到m的人出局，結構層次簡單清晰明了。這種方式實現主要采用順序表實現

數學分析：采用數學方式歸納統計分析出每次出局人的規律，直接得出每次出局的人，然后以代碼實現。這種方法需要較強的數學分析能力，代碼較簡單。這種實現主要采用數學公式。

邏輯分析

先以C語言數組為例，由於C語言數組不能像Java、Python這種面向對象語言的數組那樣使用刪除數組元素的方法，每次刪除數組中的一個元素，都要將后面元素前移一位，這里簡單的將刪除的元素值設為0。

假設總人數n=7，從編號k=2的人開始，數到m=3的人出局，下面是分析過程。

#include <stdio.h>
  
int main(void)
{
    int total;      //define total people   
    int out;        //define out number
    int start;      //define start number
  
    /* set the total, out and start number */
    printf("Please enter the total people\n");
    scanf("%d", &total);
    printf("Please enter the out number\n");
    scanf("%d", &out);
    printf("Please enter the start position\n");
    scanf("%d", &start);

    int people[total];        //init the people
    int i = start - 1;      //init i for people tag
    int count = 0;          //init count for the people out
    int remain = total;     //init the remain number of people

    /* init josephus ring */
    int j = 0;
    for (j = 0; j < total; j++)
        people[j] = j + 1;

    /* begin to solve josephus problem */
    printf("begin to solve josephus's problem.\n");
    /* print josephus ring */
    for (j = 0; j < total; j++)
        printf("%d ", people[j]);
    printf("\n");

    while (1)
    {
        if(people[i] > 0)
        {
            count++;
        }else
        {
            i++;
            if (i == total)
                i = 0;
            continue;
        }

        if(count == out)
        {
            printf("The people of %d is out.\n", people[i]);
            people[i] = 0;
            count = 0;
            remain--;
        }

        i++;
        if (i == total)
            i = 0;

        if (remain == 0)
            break;

    }

    printf("Josephus has solved his problem\n");

    return 0;
}

運行后，結果與上面分析一致

下面給出Java的集合對象實現和Python的列表實現。因為Java集合對象和Python列表都有刪除元素的方法，這里的邏輯和上面稍有不同。

這里配的圖第5個出列后面解釋有點錯誤，大概的意思和第二個出列的處理類似。

import java.util.Scanner;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class JOSEPHUS {

    public static void main(String[] args) {
        /*init data*/
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.println("Please enter the total people");
        int total = scanner.nextInt();
        System.out.println("Please enter the out number");
        int out = scanner.nextInt();
        System.out.println("Please enter the start position");
        int start = scanner.nextInt();
        
        int count = 0;        //define count for people

        /*init josephus ring and print it*/
        List<Integer> people = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = 0; i < total; i++)
            people.add(i + 1);
        System.out.println(people);
        
        int now = start - 1;    //Pointer of people who count 
        
        /*Begin to solve josephus problem*/
        while(people.size()>0) {
            count++;
            if(count == out) {
                System.out.println("The people of " + people.get(now) + " is out");
                people.remove(now);
                //System.out.println(people);
                if (now == people.size())
                    count = 0;
                else
                    count=1;
            }
            
            now++;
            if(now >= people.size())
                now = 0;
        }
    }
}

代碼運行結果與分析一致，java集合版比C數組版邏輯處理代碼稍微簡單一點點。

total = int(input("請輸入總人數："))
out = int(input("請輸入出局號："))
start = int(input("請輸入開始位置："))

#初始化約瑟夫環
people = []
for i in range(total):
    people.append(i+1)

print("需要處理的約瑟夫環為：\n",people)
count = 0       #定義報數變量
now = start - 1     #now指定當前報數的人
while len(people):
    count += 1
    if(count == out):
        print("編號為 %d 的人出局" %people[now])
        people.pop(now)
        if now == len(people):
            count = 0
        else:
            count = 1
    now += 1
    if now >= len(people):
        now = 0

運行結果與分析一致，可以看出C、java和Python用數組實現約瑟夫環，Python的代碼是最短的，C的代碼最長，Java居中。當然代碼都還有優化的地方。

也可以使用環形鏈表實現。

數學分析

總人數有n個人，從k的位置開始報數，報數到m的人出局。

先假設人數n足夠大，不管出局多少個人，都不會回到編號為1的位置。

第一次出局的人的位置為k-1+m，出局人的下一位從新開始報數，這就成了一個新的約瑟夫環，相當於第二次報數的起始位置從k+m開始，總人數為n-1；

第二次出局的人的位置為k+m-1+m，出局人的下一位從新開始報數，這就又成了一個新的約瑟夫環，相當於第三次報數的起始位置從k+2m開始，總人數為n-2；

第三次出局的人的位置為k+2m-1+m，出局人的下一位從新開始報數，這就又成了一個新的約瑟夫環，相當於第四次報數的起始位置從k+3m開始，總人數為n-3；

。。。

第t次出局的人的位置為k+tm-1，出局人的下一位從新開始報數，這就又成了一個新的約瑟夫環，相當於第t+1次報數的起始位置從k+tm開始，總人數為n-t。

因為假設人數n足夠大，不管出局多少個人，都不會回到編號為1的位置，相當與出局后又成了一個新的約瑟夫環，所以(k+tm-1)%(n-t)=(k+tm-1)為出局人的位置。

現在假設k-1+m>n

 當編號n報數時還沒有報到m，則從編號1接着編號n報數，相當與n后面還是接着無窮無盡等待報數的人。

假設循環c輪，編號p，報的數是m，編號p要出局，相當於k-1+m=cn+p，即(k-1+m)%cn=p，剩余的人數為n-1。

按上面的方法很容易得出第t次出局的人的編號為(k+tm-1)%(n-t)。

當k-1+m=n時

 即編號為n的人報數為m，此時(k+tm-1)%(n-t)=0，重新開始的位置為編號為1的位置。

package yuesefu;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class Yue {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.print("請輸入總人數：");
        int total = scanner.nextInt();
        System.out.print("請輸入出局號：");
        int count = scanner.nextInt();
        System.out.print("請輸入開始的編號：");
        int start = scanner.nextInt();
        
        /*初始化約瑟夫環*/
        List<Integer> people = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = 1; i <= total; i++) {
            people.add(i);
        }
        int k=start-1;
        System.out.println("約瑟夫環為："+people);
        while (people.size()>0) {
            k = (k + count)%(people.size())-1;
            if(k<0) {
                System.out.println("出局人的編號為：" + people.get(people.size()-1));
                people.remove(people.size()-1);
                k=0;
            }else {
                System.out.println("出局人的編號為：" + people.get(k));
                people.remove(k);
            }
        }
    }
}

total = int(input("請輸入總人數："))
out = int(input("請輸入出局號："))
start = int(input("請輸入開始位置："))

#初始化約瑟夫環
people = []
for i in range(total):
    people.append(i+1)

print("需要處理的約瑟夫環為：\n",people)
now = start - 1     #now指定當前報數的人
while len(people):
    now = (now + out)%len(people)-1
    if now < 0:
        print("編號為 %d 的人出局" %people[now])
        people.pop(now)
        now = 0
    else:
        print("編號為 %d 的人出局" % people[now])
        people.pop(now)

測試的結果也是和前面的測試結果一樣的，可以看到后面程序處理更簡單些，省了很多邏輯判斷環節，這就是數學的魅力。