一 問題描述
約瑟夫環問題的基本描述如下：已知n個人(以編號1，2，3...n分別表示)圍坐在一張圓桌周圍。從編號為1的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下一個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重復下去，要求找到最后一個出列的人或者模擬這個過程。
二 問題解法
在解決這個問題之前，首先我們對人物進行虛擬編號，即相當於從0開始把人物重新進行編號，即用0,1,2,3,...n-1來表示人物的編號，最后返回的編號結果加上1，就是原問題的解(為什么這么做呢，下文有解釋)。而關於該問題的解通常有兩種方法：
1.利用循環鏈表或者數組來模擬整個過程。
具體來講，整個過程很明顯就可以看成是一個循環鏈表刪除節點的問題。當然，我們也可以用數組來代替循環鏈表來模擬整個計數以及出列的過程。此處只給出利用數組來模擬這個過程的解法，最終結果為最后一個出列的人的編號：
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
vector<int>rs(n);
for(int i = 0 ; i < n; i++)
rs[i] = i + 1;//對人物重新進行編號，從0開始
int cur_index = 0;//當前圓桌狀態下的出列人的編號
int out_cnt = 0;//用以表示出列的人數
int cnt = n;//表示當前圓桌的總人數
while(out_cnt < n - 1)//當out_cnt等於n-1時，循環結束，此時圓桌師生最后一個人，即我們要的結果
{
if(cur_index + m > cnt)
{
if((cur_index + m) % cnt == 0)//這種情況需要單獨考慮，否則cur_index就變成負值了
cur_index = cnt - 1;
else
cur_index = (cur_index + m) % cnt - 1;
}
else
cur_index = cur_index + m - 1;
cnt--;
out_cnt++;
cout<<"當前出列的為："<<*(rs.begin() + cur_index)<<endl;
rs.erase(rs.begin() + cur_index);//從數組中刪去需要出隊的人員
}
cout<<"最后一個出列的人物為 ："<<rs[0]<<endl;
}
該方法的時間復雜度為O(nm)，空間復雜度為O(n)，整個算法的基本流程還是比較清晰的，相當於每次循環更新cur_cnt、cnt和out_cnt這三個變量，當out_cnt == n-1時，此時出隊的人數一共有n-1人，圓桌上只剩下一個人了，停止循環。此外，該算法有幾點需要注意：
(1)首先，我們為什么要對用戶進行重新編號(從0開始到n-1)，在我看來，這是因為在整個循環過程中我們用到了對當前圓桌人數總數cnt進行了取余的操作，而取余的結果包括0到cnt -1，即包括0；如果編號是從1開始的話，在余數為0的時候需要特殊處理，而從0開始編號的話，一方面符合編程習慣(下標從0開始計數)；另一方面面對取余操作不需要特殊處理。
(2)代碼中的cur_index指的當前圓桌狀態下需要出隊的人的編號，即數到m的人的編號(此處的編號指的是重新編號的編號)；由於cur_index的值表示的是重新編號后的編號，但它的初值表示的是最開始數數的那個人的編號(初始值的時候就不表示需要出隊的人的編號了)，由於題目要求的是從編號為1的人開始數數，並且其對應的新編號為0，故cur_index的初值為0。此外，在循環計算cur_index時，我們發現不論是哪種情況，cur_index更新值都有一個減1的操作；這是因為cur_index每次加m得到的值或者加m再取余得到的值，實際上是需要出隊人員的原始編號(即從1開始到n結束的那個編號)，而cur_index應該表示的是重新編號后的編號，而新編號比舊編號小1，所以需要減去1，這其實可以看成是一個規律。此處可以舉個例子，例如：對於n=5,m=3;cur_index的初值為0，cur_index + 3 <5,所以cur_index + m = 3(不用進行取余操作了)，如果不減1的話，3表示的是新編號，對應的舊編號就是4，而實際上應該出隊的人員的編號是3，對應的新編號是2。
(3)數組rs的下標相當於新編號，而數組存儲的內容相當於舊編號，rs每次刪除的元素對應每次出隊的人員的編號,在這里我們需要了解erase的原理，rs每刪除一個元素時，被刪除之后的元素就會前移，相當於新舊編號的對應關系也發生了變化，即下一個開始數數的人占據了之前出隊人員的位置，它的新編號發生了變化；而對向量進行erase操作后元素移動的原理實質和圓桌人員移動的情況是一致的啊，然后結合cur_index進行操作(把vector進行erase操作后移動元素的原理看成是圓桌人員移動)，所以說能利用vector代替循環鏈表模擬整個過程。由於rs的內容表示舊編號，所以返回的結果直接是rs[0]的內容，不需要再加1了。
2.利用數學推導得出的公式直接求解。
方法1中利用了數組直接進行過程模擬，但空間復雜度比較高，下面給出一種更為常見的方法，即直接對整個過程歸納出一個數學公式來。公式的具體推導本文不詳細描述，可參考：https://blog.csdn.net/wusuopubupt/article/details/18214999
上文中給出了公式$f(i)=[f(i-1) + m] \% i$ 其中$f(i)$表示的是當圓桌人數為$i$時，應該出隊人員的編號(這里的編號指的是重新編號后的編號)；其中當$i = 1$時，$f(i) = 0$ ，所以公式的完整表達式如下：
$$ f(i) = \begin{cases} [f(i-1) + m] \% i ,& \text{i > 1} \\ 0 , & \text{i = 1} \end{cases} $$
所以根據這個公式，可以遞歸實現，也可以用迭代實現，此處只給出迭代的實現：
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
int cnt= 0;
int rs = 0;//f(1) = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
rs = (rs + m) % i;
}
cout<<"最后一個出列的人為："<<rs + 1<<endl;
}
該算法的時間復雜度為O(n)，空間復雜度為O(1)。需要注意的一點是，rs的初始值為0，表示當總人數為1時，應該出列的人員編號(新編號)。這里與方法1中cur_index的初值表示的意義是完全不同的。整個公式的推導過程與方法1也是完全不同的(見參考鏈接)。
三 問題變種
之前所遇到的問題都是從編號(舊編號)為1的人開始報數，如果從編號為k的人開始報數呢？整個問題就變了，方法2的數學公式就不適用了；如果還想用方法2中的遞推數學公式的話，需要根據參考鏈接中的方法重新推導數學公式。但是方法1還是適用的，只需在cur_index初始化的時候，初始化k-1即可(代碼的其他部分不用變)，curi_index的初值意義就表示開始數數的人的編號(新編號)。所以遇到哪種類型的問題，要看仔細嘍，可以重點掌握下方法1，它的通用型更強，畢竟是直接模擬整個過程啊。