關於poj 放蘋果

今天重新看整數划分想到了poj1664，寫一下解題報告，免得總忘。

歸結為各種分配問題：

M個蘋果放入N個盤子里

【1】 M相同，N相同，可為空：

允許有的盤子空着不放，問共有多少種不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一種分法。

【其實這跟將一個整數m分成n個整數之和是類似的】：

貼上自己當時的代碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;

int f (int m, int n){
    if (m<0)
        return 0;
    if (n==1||m==0)
        return 1;
    return f(m-n,n)+f(m,n-1);
}

int main (){
    int t, m, n;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>m>>n;
        cout<<f(m,n)<<endl;
    }
    return 0;
}

f(m-n,n)：每個盤子都有蘋果

f(m,n-1)：至少有一個盤子沒有蘋果

或者用數組實現遞歸也可以：

f[m][n] = f[m-n][n]+f[m][n-1]，其中f[][1],f[][0],f[1][],f[0][] 都為1。

即：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n];   
       　 = 1 // m== 0 || n == 1      
　　     = 0 // m < 0

 

接下來附上一篇轉載加少數增減的文章。

原文地址 http://blog.csdn.net/qq675927952/article/details/6312255

sigma B(n,i) i=1..r

【2】 M相同，N相同，不可為空：

可以先把每個都放一個蘋果，這樣問題就轉化為：m-n個蘋果放進n個盤子里，盤子允許空，即問題【1】

 

【3】 M相同，N不同，可為空：

盤子是不一樣的，相當於m+n個位置放n個盤子，而且最后一個位置必須是盤子。這樣，每個盤子之前有幾個空位，就是有幾個蘋果，於是=  C( m+n-1 , n-1 )

【4】 M相同，N不同，不可為空：

在問題【3】中之所以轉換為m+n是因為，m可能大於n，這里不可為空，自然m≥n了，可采用隔板法，在相同的m之間去隔板，而且最后一個蘋果后放置一塊板子，並且第一個蘋果前不能放置板子，即在m-1個空隙中設置n-1個隔板，所以為C( m-1 , n-1 )

【5】 M不同，N相同，可為空：

　　sigma S(n,i) i=1..r

【6】 M不同，N相同，不可為空：

　　S(n,r)

【7】 M相同，N不同，可為空：

共N^M種。每個蘋果都有N中不同的選擇，共M個蘋果

【8】 M相同，N不同，不可為空：

　　r!*S(n,r)

 

問題１：

m----->相同， n---> 相同,可為空

將m個蘋果放進n個盤子中，盤子允許空，有多少種方法。同時注意例如1、2和2、1這兩種方案是一種方案。

 

思路：

其實這跟將一個整數m分成n個整數之和是類似的，

設f[m][n]為將m分成最多n份的方案數，且其中的方案不重復，每個方案前一個份的值一定不會比后面的大。

則有：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n];   
       　 = 1 // m== 0 || n == 1      
　　     = 0 // m < 0

 

f[m][n - 1]相當於第一盤子中為0，只用將數分成n - 1份即可。
因為0不會大於任何數，相當於f[m][n - 1]中的方案前面加一個為0的盤子，
而且不違背f的定義。所以f[m][n - 1]一定是f[m][n]的方案的一部分，即含有0的方案數。
f[m - n][n]相當於在每個盤子中加一個數1。因為每個盤子中加一個數1不會影響f[m][n - 1]中的方案的可行性，也不會影響f的定義。
所以f[m - n][n]一定是f[m][n]的方案的一部分，即不含有0的方案數。

 

問題2:

問題描述：將整數N分成K個整數的和 且每個數大於等於A   
小於等於B 求有多少種分法

int Dynamics(int n, int k, int min) //將n分為k個整數 最小的大於等於min,最大不超過B
{

    if(n < min) return 0;//當剩下的 比min小,則不符合要求 返回0
    if(k == 1) return 1;
    int sum = 0;
    for(int t = min; t <= B; t++)
    {
     sum += Dynamics(n-t, k-1, t);
    }
    return  sum;

}

問題3：

m----->相同， n---> 相同,不能為空

將m個蘋果放進n個盤子中，有多少種方法。同時注意例如1、2和2、1這兩種方案是一種方案。

思路：

先把每個都放一個蘋果，這樣問題就轉化為：m-n個蘋果放進n個盤子里，盤子允許空，即問題１

 

問題4：

第一類Stirling數是有正負的，其絕對值是包含n個元素的集合分作k個環排列的方法數目。

遞推公式為，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。

 

n個元素的集合分作k個環排列的方法是s(n,k)，那么

1.可由前n-1個元素k-1個環的s(n-1,k-1); 即最后一個元素為單環，前n-1個構成k-1環；

2.第n個元素一定不是單環，可以由n-1個元素k個環，把第n個數任意的放入一個環中組成新環！即得到n個

元素的集合分作k個環，假設n個元素的集合分作k個環，那么由於n,不在單環中，那么可以把n所在的環中把n

剔除，即得到了n-1個元素，k個環，即充分與必要性都得證！

因而：S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。得證！

 

問題5：

第二類Stirling數是把包含n個元素的集合划分為正好k個非空子集的方法的數目。
//n－>有區別，K－>非空,沒區別
遞推公式為，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).

上面的遞推式可以用組合證明：
一方面，如果將第n個元素單獨拿出來划分成1個集合，那么方法數是S(n-1,k-1)；
另一方面，如果第n個元素所在的集合不止一個元素，那么可以先將剩下的n-1個元素划分好了以后再選一個集合把第n個元素放進去，方法數是k*S(n-1,k)；
有加法原理得證

 

問題6：

Bell數和Stirling數

B(n)是包含n個元素的集合的划分方法的數目。

集合的划分：非空，

B(0) = 1, B(1) = 1,

B(n) = Sum(1,n) S(n,k).　　其中Sum(1,n)表示對k從1到n求和，

 

問題7：

當Ｋ是有區別的時候，則一般都要在沒有區別的基礎上乘以K的全排列。