// 最優原則：不管前面的策略如何，此后的決策是是基於當前狀態（由上一次決策產生）的最優決策。
// 當最優決策序列中包含最優決策子序列時，可建立動態規划遞歸方法。
// （有些問題的遞歸式不一定能保證最優原則，因此在求解時有必要對它進行驗證。若不能保持最優原則，則不可應用動態規划方法。）
// 在得到最優解的遞歸式之后，需要執行回溯以構造最優解。
// 缺點：如果不努力地去避免重復計算，遞歸程序的復雜性將非常可觀。
// 方案：如果在遞歸程序中解決了重復計算問題時，復雜性將急劇下降。
// 遞歸方程也可用迭代方程來求解，這很自然地避免了重復計算。迭代方程雖然具有相同的復雜性，不需要附加的遞歸棧空間，因此更快一些。
// 15x1.cpp : Defines the entry point for the console application.
#include "stdafx.h"
#include <iostream.h>
#include <stdlib.h>
#include "dosmax.h" // has max() and min()
// 動態規划：0-1背包問題（使用遞歸方法）
int p[6] = {0, 6, 3, 5, 4, 6}; // p 價值，多放置一個0，是為了讓下標統一，方便理解和計算。
int w[6] = {0, 2, 2, 6, 5, 4}; // w 重量
// int x[6];
int n = 5; // 所有物品的數量
int c = 10; // 實際最大總容量
// F函數的返回值是，當前剩為余容量為y，並且當前仍有剩余物品從i到n時，的最優解。
// i為當前檢索到哪個物品的序號
int F(int i, int y)
{
if (i == n) return (y < w[n]) ? 0 : p[n]; // 最終返回點，一次性比較搞定！
if (y < w[i]) return F(i+1, y); // 如果y小於當前重量，那么只有一個選擇：繼續向下搜尋，看看能不能放下后面的物品
// 如果y大於當前物品的重量w[i]，就有兩個選擇了（雖然不能當場計算出這兩個選擇的值，但是沒關系，讓它們繼續往下計算就是了）：
// 最后返回（假設當前不放入物品，y的值不變）和（假設當前放入物品，y減去當前物品的重量）的兩種不同選擇之后，所造成不同價值的比較結果。
// 在i=n之前，所有的F函數代表的臨時總價值，都是懸而未決的。但是一旦i=n之后，依次返回正確的值。
// F(i+1,y) 和 F(i+1, y-w[i])+p[i]，它們都是i+1時候的情況，分頭進行計算，相互不依賴。層次分解，就好象是一顆二叉樹（中間如果y<w[i]就只有一個節點）。
// 最后只得出一個F的值（最優值），其余F的臨時總價值，全部丟棄。
return max(F(i+1,y), F(i+1, y-w[i])+p[i]); // 切記，返回的是物品的總價值（最大值=最優解）
}
void main(void)
{
cout << "Optimal value is ";
cout << F(1, c) << endl;
}
// =============================dosmax.h=====================================================
#ifndef dosmax_
#define dosmax_
template <class type>
inline type max(type a, type b)
{
return (a > b)? a : b;
}
template <class type>
inline type min(type a, type b)
{
return (a < b)? a : b;
}
#endif
// ==================================================================================
// 如果下標從0開始，那么只需要改碰到n的情況，因為沒有w[n]和p[n]存在。但當前w[i]與p[i]不變。
int p[5] = {6, 3, 5, 4, 6}; // p 價值，多放置一個0，是為了讓下標統一，方便理解和計算。
int w[5] = {2, 2, 6, 5, 4}; // w 重量
int n = 5; // 所有物品的數量
int c = 10; // 實際最大總容量
int F(int i, int y)
{
if (i == n-1) return (y < w[n-1]) ? 0 : p[n-1]; // cas d'arret，一次性比較搞定！
if (y < w[i]) return F(i+1, y);
return max(F(i+1,y), F(i+1, y-w[i])+p[i]);
}
void main(void)
{
cout << "Optimal value is ";
cout << F(0, c) << endl;
}