前言
均值不等式这一素材，是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材。由于要多头验证，所以学生很不习惯，感觉很难掌握。
公式内容
- 已知两个正数\(a，b\)，则有\(a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\)(当且仅当\(a=b\)时取到等号)
使用条件
- 正、定、等同时成立。 均值不等式中还有一个需要注意的地方：\(a，b\in R\)
【错例】如已知向量的内积\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1，\)则有人这样做\(\vec{a}+\vec{b} \ge 2\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{b}}=2\)，
这是错的，因为\(\vec{a}，\vec{b}\)不是实数，而是向量。
理解内涵
从表达式中的字母内涵入手理解公式
\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，如\(a、b\)可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等
比如这些表达式都可以考虑用均值不等式：
当你看了以上这么多的式子时，你是否想过它们能不能用一个式子统一刻画吗？
仔细想想，再看看是不是能用$ a+b\ge2\sqrt{ab}(a，b>0)$来表示，如果这样读书，课本自然就越读越薄了。
使用技巧
直接使用
形如这样的\(x+\cfrac{k}{x}(k>0)\)，当\(x>0\)时考虑直接使用； 其实这是对勾函数\(f(x)=x+\cfrac{k}{x}(k>0)\)在\(x>0\)时的图像最低点。
变形使用
- 负化正， \(y=x+\cfrac{2}{x} (x<0)\) [1]
-
拆添项， \(y=x+\cfrac{2}{x-1} (x>1)\)
-
凑系数， \(2x+3y=4,\) 求\(xy\)的最大值\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)(3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2\)
-
在指数位置使用[2]
- 连续多次使用均值不等式[3]
- 求限定条件下的最值[高考高频考点]
方法：常数代换和乘常数再除常数，[4]
- 组合使用[5]
- 构造\(ax+\cfrac{b}{x}\)型(高考中的高频变形)，
方法思路：此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数；[6]
- 均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性
已知正实数\(a,b\)满足\(a+2b=1\)，求\(a^2+4b^2+\cfrac{1}{ab}\)的最小值。[7]
相关链接
例1 过点\(P(2，1)\)作直线\(l\)，分别交\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，当\(\triangle AOB\)的面积最小时，求直线\(l\)的方程；
分析：过点\(P\)的直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，
则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零，故设为\(y-1=k(x-2)\)，
则点\(A(2-\cfrac{1}{k}，0)\)，\(B(0，1-2k)\)，\(k<0\)；
则\(S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)\)\(=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})\)
\(=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]\)\(=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]\)\(\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4\)
当且仅当\(-4k=-\cfrac{1}{k}\)，即\(k=-\cfrac{1}{2}\)时等号成立，
故所求直线\(l\)的方程为\(x+2y-4=0\). ↩︎\(2^x+4^y=4\)，则\(x+2y\)的最大值是________.
分析：\(4=2^x+4^y \ge 2\sqrt{2^{x+2y}}\)，则有\(2^2 \ge 2^{x+2y}\)，故\(x+2y \leq 2\)。 ↩︎设\(a,b\)均为正实数，求证：\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+ab\ge 2\sqrt{2}\).
分析：由于\(a>0,b>0\)，故有\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 2\sqrt{\cfrac{1}{a^2}\cdot\cfrac{1}{b^2}}=\cfrac{2}{ab}\)， 当且仅当\(\cfrac{1}{a^2}=\cfrac{1}{b^2}\)，即\(a=b\)时等号成立；
又\(\cfrac{2}{ab}+ab\ge 2\sqrt{\cfrac{2}{ab}\cdot ab}=2\sqrt{2}\)，当且仅当\(\cfrac{2}{ab}=ab\)时等号成立；
所以\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+ab\ge \cfrac{2}{ab}+ab\ge 2\sqrt{2}\) 当且仅当\(\begin{cases}\cfrac{1}{a^2}=\cfrac{1}{b^2}\\\cfrac{2}{ab}=ab\end{cases}\)，即\(a=b=\sqrt[4]{2}\)时取等号。 ↩︎如已知\(2a+3b=2，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值。
\(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}=\cfrac{1}{2}\cdot (2a+3b）(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b})=\cfrac{1}{2}\cdot (6+6+\cfrac{4a}{b}+\cfrac{9b}{a})=\cdots\) ↩︎【引例1】已知\(a>1，b>0， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\))
【引例2】已知\(a>1，b>2， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1\)) ↩︎比如，形如\(\cfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a，b，c，d，e为常数)\xrightarrow[代换法]{配凑法}ax+\cfrac{b}{x}\)型(分子上使用均值不等式)
形如\(\cfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a，b，c，d，e为常数)\xrightarrow[代换法]{配凑法}\cfrac{1}{ax+\cfrac{b}{x}}\)型(分母上使用均值不等式) ↩︎法1：【错解】由\(a^2+4b^2+\cfrac{1}{ab}\ge 4ab+\cfrac{1}{ab}\ge 2\sqrt{4}=4\)，故所求的最小值是4。
错因分析：第一次使用均值不等式时等号成立的条件是\(a=2b\)，又由于必须满足条件\(a+2b=1\)，
可解得\(a=\cfrac{1}{2}\)，\(b=\cfrac{1}{4}\)；
而第二次使用均值不等式时等号成立的条件是\(4ab=\cfrac{1}{ab}\)，即\(ab=\cfrac{1}{2}\)，
而由上可知\(\cfrac{1}{ab}=8\)，二者不可能相等，故使用错误。
法2、由\(1=a+2b\ge 2\sqrt{2ab}\)，可得\(0<ab\leq \cfrac{1}{8}\)，当且仅当\(a=2b\)，即\(a=\cfrac{1}{2}\)，\(b=\cfrac{1}{4}\)时取等号；
则\(a^2+4b^2+\cfrac{1}{ab}=(a+2b)^2-4ab+\cfrac{1}{ab}=1-4ab+\cfrac{1}{ab}\)，令\(ab=t\in(0，\cfrac{1}{8}]\)，
则所求为\(1-4t+\cfrac{1}{t}=f(t)\)，\(t\in(0，\cfrac{1}{8}]\)，又\(f'(t)=-4-\cfrac{1}{t^2}<0\)，
故函数\(f(t)\)在\((0，\cfrac{1}{8}]\)上单调递减，故最小值为\(f(\cfrac{1}{8})=\cfrac{17}{2}\)。 ↩︎