矩陣非異性的判定是高等代數教學中的一個重點. 一般來說, 判定非異矩陣的常見方法有五種, 分別是: (i) 行列式的計算 (參考高代白皮書第 1 章); (ii) 湊因子法 (參考高代白皮書第 2.2.3 節); (iii) 線性方程組求解理論的應用 (參考高代白皮書第 3.2.6 節 ...

第七大題 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, 證明: 存在復數 $c_1,\cdots,c_{n-1}$, 使得 $$A-c_1e^A-c_2e^{2A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1)A}$$ 是可對角化矩陣. 本題是復旦大學數學學院 18 級高等代數 II 期中考試的第七大題 ...

第五大題 設 $A_1,\cdots,A_n$ 為兩兩乘法可交換的 2019 階實方陣, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元實系數多項式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 證明: 存在 $B$ 的某個特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1 ...

矩陣秩的估計 (等式或不等式的證明) 是高等代數教學中的一個難點, 我們通常有以下三種方法, 分別是: (i) 從矩陣秩的基本等式和不等式出發, 利用矩陣的初等變換來處理 (參考高代白皮書第 3.2.6 節第 1 部分); (ii) 利用線性方程組的求解理論來處理 (參考高代白皮書 ...

以下是復旦大學數學學院20級高等代數 I 期中考試的四道大題, 它們的高等代數 I 解題思路為: 第四大題第 1 小題利用矩陣乘法直接進行計算, 第 2 小題利用線性方程組的求解理論進行討論; 第五大題利用行列式的降階公式進行計算; 第六大題利用矩陣秩的 Sylvester 不等式進行證明; 第七大題 ...

本文收集了復旦大學數學學院 18 級到 19 級高等代數期中考試的精選大題, 其中一部分大題由習題課老師或任課老師自編而來, 一部分大題從兄弟院校的高等代數教材或學習指導書中的習題或考研試題改編而來, 也有一部分大題已經融入到復旦大學高等代數學習指導書 (第三版) 中了. 由於篇幅所限 ...

第六大題 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, 證明: $A$ 不可對角化當且僅當存在一元多項式 $f(x)$, 使得 $f(A)$ 非零, $I_n+f(A)$ 可逆, 並且 $(I_n+f(A))^{-1}$ 與 $I_n-f(A)$ 相似. 證明 先證必要性. 考慮 ...

本文收集了復旦大學數學學院 13 級到 17 級高等代數期中考試的精選大題, 其中一部分大題由習題課老師或任課老師自編而來, 一部分大題從兄弟院校的高等代數教材或學習指導書中的習題或考研試題改編而來, 也有一部分大題已經融入到復旦大學高等代數學習指導書 (第三版) 中了. 由於篇幅所限 ...