本文介紹[初等]數論、群的基本概念，並引入幾條重要定理，最后籍着這些知識簡單明了地論證了歐拉函數和歐拉定理。 數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。 算術基本定理（用反證法易得）：又稱唯一分解定理，表述為 任何大於１的自然數，都可以唯一分解成有限個質數的乘積，公式：\(n=p_1 ...

歐拉定理和擴展歐拉定理可以解決形如5100000000000000000000等大數冪取模或者求ax mod n=1的大於1的最小x值等一類問題，其中歐拉函數占巨大的重要性，有效的將復雜的大數冪取模問題轉化為簡單的大數取模和快速冪問題，下面就來介紹一下基本的歐拉定理和擴展歐拉定理 ...

擴展歐拉定理 \[a^b\equiv \begin{cases} &a^{b\%\varphi(p)} &\gcd(a,p)=1\\ &a^b &\gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ &a^{b\%\varphi(p ...

也許更好的閱讀體驗 歐拉函數 定義 歐拉函數是 小於等於 x的數中與x 互質 的數的 數目 符號\(\varphi(x)\) 互質 兩個互質的數的最大公因數等於1,1與任何數互質 通式 \(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i ...

費馬小定理與歐拉定理： 費馬小定理：當 $ m $ 為質數且 $ a $ 不為 $ m $ 的倍數時有 $ a^{m-1}≡1\mod(m) $ 根據費馬小定理可知： $ a^{m-2} $ 就是a在模m意義下的逆元. 歐拉定理：當 $ a $ , $ m $ 互質時, $ a^{\phi ...

淺談擴展歐拉定理 前置知識： \(1,\)數論歐拉定理這里 \(2,\)積性函數\(\phi\)的性質 \(3,\)以下引理 證明引理用到的引理 (一)，引理 ​ 設\(x\)=\(lcm(a,b)\)。 ​ 可以分解如下 \[a=p_1^{a_1}*……*p_k^{a_k ...

概述： 費馬小定理和歐拉定理是數論中非常重要的兩個定理,對解決整除問題和同余問題有着強大的功能。 費馬小定理與歐拉定理 費馬小定理：當 \(m\) 為質數且 \(a\) 不為 \(m\) 的倍數（即：\(gcd(a,m) = 1\)時有 $a^{m−1}≡1\ mod\ (m) $ 另一 ...

（所有^為次方） 歐拉定理： a^phi(m)=1 (mod m) ( gcd(a,m)=1 ) 設1到m中與m互質的數為 x1, x2, x3, ……x phi(m) 令pi=xi*a 引理一：p之間兩兩模m不同余，x之間兩兩模m不同於 x兩兩模m不同樣因為都小於等於m ...