\(12\) 個乒乓球，有一個次品，不知道次品是更重還是更輕，用一台無砝碼的天平稱三次，找出次品，並告知次品到底是重了還是輕了，請問該怎么做？
首先，將乒乓球均分為 \(3\) 組，設為 \(4A,4B,4C\)，
- 第一次：左邊 \(4B\)，右邊 \(4A\) 稱重。
- 如果平：則次品一定在 \(4C\) 里。
- 第二次：左邊 \(4C\) 里隨便選 \(3\) 個，右邊 \(4A\) 里隨便選 \(3\) 個稱重。
- 如果平：\(4C\) 中剩下的是次品，最后一次任選一個正常乒乓球稱下就知道次品是輕了還是重了。
- 不平：我們就會知道次品到底是重了還是輕了，接下來只需只需要從 \(3C\) 里任選兩個一左一右稱一下即可，如果兩個平，剩下的是次品；否則根據輕重判斷出次品。
- 第二次：左邊 \(4C\) 里隨便選 \(3\) 個，右邊 \(4A\) 里隨便選 \(3\) 個稱重。
- 不平：則次品一定在 \(4A\) 或者 \(4B\) 里。
- 第二次：取 \(4B\) 中 \(2\) 個、\(4A\) 中 \(3\) 個、\(C\) 中 \(3\) 個，左邊 \(2B2A\)，右邊 \(3C1A\) 稱重。
- 如果平：則次品在剩下的 \(1A2B\) 中，然后取 \(2B\) 稱一稱，平則次品為剩下的 \(1A\)，同時根據第一次不平可以判斷出是輕了還是重了；否則在 \(2B\) 中，同樣根據根據第一次不平判斷出結果。
- 不平：那么我們可以根據第二次和第一次天平的傾斜情況是否相同做出如下判斷：如果傾斜情況相同，則次品在左邊的 \(2B\) 或者右邊的 \(1A\) 中；否則次品在左邊的 \(2A\) 中。
- 如果傾斜情況相同：第三次將 \(2B\) 一左一右稱一下，如果平，則次品為 \(1A\)，根據第一次不平判斷輕了還是重了；否則，同樣根據第一次不平一眼看出次品。
- 如果傾斜情況不同：第三次將 \(2A\) 一左一右稱一下，根據第一次不平一眼看出次品。
- 第二次：取 \(4B\) 中 \(2\) 個、\(4A\) 中 \(3\) 個、\(C\) 中 \(3\) 個，左邊 \(2B2A\)，右邊 \(3C1A\) 稱重。
- 如果平：則次品一定在 \(4C\) 里。
稍微證明一下為什么第一次不平第二次也不平時可以做出上述判斷：反證法，如果第一次和第二次傾斜情況相同，且次品在左邊的 \(2A\) 中，那么第一次的傾斜是由右邊的 \(4A\) 中的某個次品產生的，第二次的傾斜是由左邊的 \(2A\) 中的某個次品產生的，傾斜情況應該相反才對，與前提矛盾，故得證。
問題解決了~
換個思路思考，先考慮第一次稱量的情況可以得到的信息：
第一次：
稱 \(11,22\) 肯定是寄的；
稱 \(33\)，如果平，可以知道次品在 \(6\) 個中；不平，可以知道次品在 \(6\) 個中，獲得一次不平衡，\(33\) 時不平獲得的信息量更大；
稱 \(44\)，如果平，可以知道次品在 \(4\) 個中；不平，可以知道次品在 \(8\) 個中，獲得一次不平衡，信息量都還行；
稱 \(55\)，如果平，可以知道次品在 \(2\) 個中；不平，可以知道次品在 \(10\) 個中，獲得一次不平衡，不平的話直接寄，范圍太大了，所以第一次絕對不能 \(55\)。
稱 \(66\)，只能獲得一次不平衡，弟中之弟。
所以第一次只能 \(33\) 或者 \(44\)。
第二次比較難考慮，先看第三次：
假設此時我們知道次品在 \(n\) 個球中，如果 \(n>3\)，直接寄，不可能一次就找出次品來，即使已經知道次品更重還是更輕。
如果 \(n\leq3\)，則需要先看一下我們知不知道小球到底是更輕還是更重。
如果我們已經知道小球更輕或是更重，那么就能一次找出次品來，只在這 \(n\) 個球里稱就可以，具體操作稍微想一下應該就能知道，故不多加贅述。
如果我們不知道小球更輕還是更重，那么一定得有 \(n=1\)，不然找不出來。
但是，也有特殊情況，如果我們最后剩下 \(2or3\) 個小球、不知道輕重，但前面兩次獲得了較多關於輕重不平衡的信息，那么也有可能通過這第三次稱量，一次便既找出次品又得出輕重。
想清楚了這些，我們再來看第二次稱量：
先考慮 \(33\)，因為第一次平的時候獲得的信息量絕對小於不平的，所以直接看平的，如果平的都可以有一種合法的方案，那么不平也一定可以，那么就找到了一個解，否則 \(33\) 就不行，只能去考慮 \(44\)。
第一次平，得出次品在剩下的 \(6\) 個小球里面，根據前面對第三次的分析，我們知道第二次一定也要稱 \(33\)，別的稱法的話，都無法保證能夠將第三次稱量時的次品范圍縮小到 \(3\) 個以內。
第二次的 \(33\)，顯然只能用 \(3\) 個正常的和 \(3\) 個可能是次品的稱，此時如果平，則會剩下三個可能是次品的小球，且一次不平衡的信息都沒得到過，按照上面關於第三次的討論，這種情況下顯然無法找出來，因此第一次稱 \(33\) 是不行的。
所以第一次只能稱 \(44\)，然后就按着差不多的思路枚舉排除一下，推着推着就推出答案了，重點是要在盡可能快速地縮小次品范圍的同時得到較多的輕重不平衡的信息，拓展到其他數量的小球稱量也是同樣的道理，據說有個 \(n\) 取任意值的通解，但懶得去研究了，有興趣的同學可以自行百度。
