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因為網上這道題沒有詳細思路，我想我還是補個詳細思路。這道題目描述是這樣的：
有12個一模一樣的球，其中11個重量一模一樣，剩下的1個重量和其他的不一樣。使用一個無砝碼的天平稱3次，找出重量不一樣的這一個球，以及知道這個球比其他的球重還是輕。
這個題目似乎很早就出來了，估計有十幾年吧，曾以不一樣的身份出現在各個帖子里，有的時候號稱是微軟筆試題，也曾被稱為google筆試題，還有說是騰訊筆試題的。至於它真實的出處，我們不必在意。另外還有13個球的版本的，只是只要找出球就行了。倒是這道題的詳細解題步驟，這些年來似乎從未看到，於是，今天我就來給個詳細的分析步驟。
雖然用信息論的術語，比如信息墒、信息論下界來描述這個問題會比較規范，不過我想說的更加通俗一點。
我們知道無砝碼的天平每次稱量會有三種結果：兩邊一樣重，左邊重，右邊重。根據組合里的乘法原理，三次天平稱量有27種結果，而題目的目的是要區分12(球的數目)*2(重或輕)=24種不同情況。我們給出的稱法其實是算法，算法運行的過程中只有遇到每一次稱重的不同結果，才會面臨着不同的分支，從而計算出不同的結果。於是，我們每一種稱量結果，會對應着不同的情況。總共最多有27種稱量結果，而只有24種情況需要分辨，如果把這27種稱量結果看成編碼，把24種情況看成需要分辨的不同信息，那么顯然，編碼數量是足夠的。也就是，是有可能的。這種方法可以用來排除結果，卻不可以用來肯定結果，也可以用於過程中，比如過程中對於整個三個稱重還剩下n次稱重，而需要區分的情況為m種，如果m>3n，也就是編碼不夠用了，那么表示剛才的稱重方法是得到結果，應該被排除。
任何一次稱重，如果兩邊小球數量不一樣多，而如果稱出小球少的一方輕於小球多的一方，則無法減少要區分的情況，所以會白白浪費一次稱重。從而，每一次稱重，左右都是相同的球。
好，准備的差不多了，我們可以開始推算法了，我們給12個球先編號，從1編到12。
我們先看第一次稱重左右各多少個球，如果左右各1~3個球，剩下的球大於多於6個，如果第一次稱重為左右一樣重，那么要區分的情況大於等於2*6=12種，而剩余的2次稱量只能區分9種情況，所以不行；如果左右的球為5~6個，那么如果第一次稱重兩邊不一樣種，那么要區分的情況就是10或12種（要么是重的那邊有一個球重了，要么是輕的那邊有一個球輕了，參與稱重的所有球都有可能是要找的球），也無法用剩余的2次稱重區分所有的情況。所以，第一次稱重只能是左右都是4個球。
不失一般性，第一次稱重左邊選擇編號1、2、3、4，右邊選擇編號5、6、7、8。
第一次稱重會有三種可能：
左右一樣重；
左邊重於右邊；
右邊重於左邊。
前兩種情況是對稱的，只要考慮左邊重於右邊就可以了，從而只需要考慮左右一樣重、左邊重於右邊這兩種情況即可。
(一)
先考慮左右一樣重，那么要找的球在9、10、11、12中，也就是還存在8種情況。考慮第二次稱量。
如果9、10、11、12都在這一次稱量上，那么天平不會平衡，那么兩次稱量總共有2*3=6種結果(2為重、輕)，無法區分8種情況。
如果第二次稱量中9、10、11、12中有2個或2個以上的球未參與稱量，那么天平一旦平衡，這些未參與稱量的球將有至少4種情況需要通過最后一次稱量來決定，那么也是不可能的。
所以，第二次稱量中，9、10、11、12有3個球參與稱量，不失一般性，就選9、10、11三個球，9、10、11三個球和1、2、3三個不是目標的球做第二次稱重（其實還有一種稱法，就是9、10和11、1稱，也一樣可以分辨出來，這里不討論）。分三種情況：
(1) 9、10、11重於1、2、3，那么只有三種可能：9重，10重，11重。第三次稱量就拿9和10來比較，如果9重於10，結果就是9重；如果10重於9，結果就是10重；如果9、10一樣種，結果就是11重。
(2) 9、10、11輕於1、2、3，和上面道理一樣。
(3) 9、10、11和1、2、3一樣重，那么要找的球就是12。最后一次稱量就用12比上任何一個正常的球就知道12是重了還是輕了。
(二)
再考慮1、2、3、4重於5、6、7、8，那么結果會有8種可能：1重，2重，3重，4重，5輕，6輕，7輕，8輕。8個球都有可能，那么最后一次稱重至少要有5個球參與，以防第二次稱平之后有超過3種情況，從而最后一次稱不出來。我們選擇1、2、5和3、6、9稱第二次。如果1、2、5重於3、6、9，那么有1重，2重，6輕三種情況；如果1、2、5輕於3、6、9，那么有5輕，3重兩種情況；如果1、2、5和3、6、9一樣重，那么有4重，7輕，8輕三種情況。
兩重一輕、兩輕一重（其實就是前一種反過來，所以只用考慮前一種）很容易一次稱出，把兩個認為可能重的比較一下重量，如果不平衡，那么重的那個就是要找的球；如果平衡，就是剩下的那一個球。一輕一重就更容易了，拿一個正常的球和其中一個球來比就行了。
從而，問題就這么解決了。其實題目可以再變一下，12個球變成13個球，不過三次稱重只可以保證找出不一樣的那個球，卻未必知道這個球是重還是輕。我們可以分析一下，首先，每次左右球數目都一樣，道理同上。第一次選擇的球只能是左右都4個，如果是左右大於等於5個，萬一不平衡，就有最少10種情況(參與稱重的球都有可能)，那么2次稱重是分辨不出來10種情況，而如果是左右3個以內，於是面臨2次稱重分辨至少7個不知輕重的球，7>3+3，2次搞不定。第一次稱重如果不平衡，那么和上面12個第一稱不平衡一樣，可以解決。如果平衡，那么就面臨着2次稱重在5個球中找。如果第二稱重有這5個球中4個或4個以上的球參與，那么萬一不平衡，那么需要一次稱重分辨至少4種情況，不可能解決。如果第二稱最多只有2個球參與，那么萬一平衡，那么剩余的球（至少3個）需要一次稱重稱出，這是不可能的。所以第二稱有其中3個球參與，左邊2個，右邊剩下的1個和從剛才8個球中找一個正常的。但萬一平衡，意味着還有一次稱重要分辨2個球，這種情況下，是存在只知道球不知道輕重的可能，因為2*2>3。