移動通信筆記-小尺度衰落和多徑效應

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Chapter 5 小尺度衰落和多徑效應

5.1小尺度多徑傳播

無線信道的多徑傳播導致小尺度衰落，表現為：

信號強度經過短距離/短時延后急劇變化
不同多徑分量上，存在時變的多普勒（Doppler）頻移引起的隨機頻率調制
多徑傳播時延引起的時間彌散

5.1.1影響小尺度衰落的因素

多徑傳播：信號的多個路勁分量以非相干的形式疊加
移動台/環境物體的相對運動：由多普勒頻移引起的信道相干時間
信號的傳輸帶寬：比較信號帶寬與多徑信道相干帶寬的關系

5.1.2多普勒頻移

傳播過程中，路程差造成接收信號相位變化

\[\Delta\phi=\frac{2\pi\Delta l}{\lambda}=\frac{2\pi v\Delta t}{\lambda}\cos\theta \]

對應的頻率變化值（多普勒頻移）

\[f_d = \frac{1}{2\pi}\centerdot\frac{\Delta\phi}{\Delta t}=\frac{v}{\lambda}\centerdot\cos\theta \]

多普勒頻移的絕對數值並不大，但結合多徑傳播引起的頻譜展寬是需要重點考慮的因素。

5.2時變無線信道的通用表示式

時變信道的沖激響應可以記為

\[h(\tau,t)=\sum_{n=0}^{N(t)}{\delta(\tau-\tau_n(t))\alpha_n(t)e^{j\phi_n(t)}} \]

由沖激函數、幅度增益和相位旋轉構成了時變信道的通用模型
其中相位旋轉由信道的多普勒偏移和傳播延遲共同決定。

5.3無線信道的物理屬性

\[時延擴展，相干帶寬\leftarrow^{固定時間，研究時延}\longleftarrow h(\tau,t) \longrightarrow^{固定時延，研究時間}\rightarrow Doppler擴展，相干時間 \]

5.3.1時延擴展，相干帶寬

接收信號由多個可分辨的獨立多徑信號組成，造成了接收信號持續時間比該信號發送時的持續時間長（因為某些路徑長的，那么它的到達接收機的時間就會比較長），造成了時域上的時間色散，用時延擴展來衡量；在頻域上反映為頻率選擇性衰落，用相干帶寬衡量。
（1）時延擴展[second]：最后到達接收機的信號與最先到達接收機的信號之間的時間差。
（2）相干帶寬：約等於時延擴展的倒數，但是在一般的情況下，要確定多徑信道對某一特定信號的精確影響，需要用到頻譜分析技術與仿真。當兩個頻率分量的頻率間隔小於相干帶寬時，它們具有很強的幅度相關性。

5.3.1.1時間色散參數

時間色散參數通常用平均附件時延($\overline{\tau}$）和RMS時延擴展(均方根時延擴展$\sigma_{\tau}$)表示。

功率延遲分布PDP圖

平均附加時延（mean excess delay）(功率延遲分布的一階矩)

\[\overline{\tau}=\frac{\sum_{k}{a^2_k\tau_k}}{\sum_{k}{a^2_k}}=\frac{\sum_{k}{P(\tau_k)\tau_k}}{\sum_{k}{P(\tau_k)}} \]

RMS時延擴展（rms delay spread）$\sigma_{\tau}$（功率延遲分布的二階矩）

\[\sigma_{\tau}=\sqrt{\overline{\tau^2}-{\overline{\tau}}^2} \]

其中$\overline{\tau^2}=\frac{\sum_{k}{a^2_k\tau_k^2}}{\sum_{k}{a^2_k}}=\frac{\sum_{k}{P(\tau_k)\tau_k^2}}{\sum_{k}{P(\tau_k)}}$

則可知RMS時延擴展依賴於多徑分量的相對幅度
補充：
由於信道的功率分布具有隨機性，因此需要采用大量信道響應，實現功率分布的平均。
此時
$\overline{\tau}=\int^{\infty}_0{\tau f(\tau) d \tau}$ 且 $\sigma_{\tau}=\sqrt{\int({\tau-\overline{\tau})^2 f(\tau) d \tau}}$
常見信道的PDP是單邊指數分布(如瑞利信道)

\[f(\tau) = \frac{1}{\overline{\tau}}e^{-\frac{\tau}{\overline{\tau}}},\tau > 0 \]

其均方根時延擴展為
$\sigma_{\tau}=\sqrt{\int({\tau-\overline{\tau})^2 f(\tau) d \tau}}=\sqrt{\int^{\infty}_0({\tau-\overline{\tau})^2 \centerdot \frac{1}{\overline{\tau}}e^{-\frac{\tau}{\overline{\tau}}} d \tau}} = \tau$
則可知對於指數分布的PDP，均方根時延擴展與平均附加時延數值上相等。

5.3.1.2相干帶寬

在一定范圍內頻率的統計測量值。在此范圍內，兩個頻率分量具有很強的幅度相關性
是從均方根延遲擴展得到的信道頻率特性
所有通過信道相干帶寬的頻譜分量均以幾乎相同的增益及線性相位通過，即平坦衰落
計算方法：
頻率相關系數大於一定門限（$\rho$）的特定帶寬值
$\rho=0.9, B_C \approx \frac{1}{50\sigma_{\tau}}$，若$\rho=0.5, B_C \approx \frac{1}{5\sigma_{\tau}}$

5.3.2多普勒擴展$B_D$和相干時間$T_C$

時延擴展和相干帶寬是用於描述本地信道色散特性的兩個參數，而多普勒擴展和相干時間體現由於相對運動引起的信道時變特性。
多普勒擴展$B_D$定義為一個一個多普勒頻譜非0值的頻譜范圍

\[B_D \in [f_c-f_d,f_c+f_d] \]

其中$f_c是信號載頻，f_d為多普勒偏移$

相干時間是多普勒擴展在時域的表現，用於描述信道的時變特性,典型取值為

\[T_C \approx \frac{1}{f^{max}_d}, \frac{9}{16\pi f^{max}_d}或\sqrt{\frac{9}{16\pi (f^{max}_d)^2}}=\frac{0.423}{f^{max}_d} \]

到達時間間隔超過$T_C$的兩個信號受到信道的影響不同。

5.4小尺度衰落類型

$T_S$:傳輸模型帶寬的倒數（如信號周期）$B_S$:傳輸模型帶寬

$\sigma_{\tau}$:信道的rms時延擴展 $B_C$:信道的相干帶寬

$B_D$:信道多普勒擴展帶寬 $T_C$:信道相干時間

5.4.1多徑時延擴展引起的衰落效應

平坦衰落

\[B_S \ll B_C 即 T_S \gg \sigma_{\tau} \]

頻率選擇性衰落

\[B_S > B_C 即 T_S < \sigma_{\tau} \]

通常若$T_S \geq 10\sigma_{\tau}$,該信道是平坦衰落的；
若$T_S < 10\sigma_{\tau}$，則為頻率選擇性衰落

5.4.2多普勒擴展引起的衰落效應

快衰落

\[T_S > T_C 即 B_S < B_D \]

慢衰落

\[T_S \ll T_C 即 B_S \gg B_D \]

顯然，移動台的速度以及基帶信號的發送速率決定了信號是經歷快衰落還是慢衰落。

小尺度衰落模型

5.5基於多徑信道的窄帶通信

5.5.1瑞利衰落分布

移動無線通信中，瑞利分布是最常見的用於描述平坦衰落信號接收包絡或獨立多徑分量接收包絡統計時變特性的一種分布模型。
兩個正交高斯噪聲信號之和的包絡服從瑞利分布。
概率密度函數pdf:
$f_R(r)= \begin{cases} \frac{r}{{\sigma}^2} e^{-\frac{r^2}{2{\sigma}^2}} & 0\leq r<\infty \\ 0 & r<0 \end{cases} $
其中$\sigma$是包絡檢波之前所接收電壓信號的均方根(rms)值，${\sigma}^2$是包絡檢波之前接收信號包絡的時間平均功率。

信道的平均增益：$\overline{r^2}=2{\sigma}^2$
中斷率（outage probability）
$Pr(r \leq r_{min})=\int^{r_{min}}_{-\infty}{f_R(r)dr}=\int^{r_{min}}_0{\frac{r}{{\sigma}^2} e^{-\frac{r^2}{2{\sigma}^2}}dr} = 1-e^{-\frac{r^2_{min}}{2{\sigma}^2}}$

令$P=r^2$為信號功率，則有$r=\sqrt{P}$

\[f_P(P)=\frac{\sqrt{P}}{{\sigma}^2} e^{-\frac{P}{2{\sigma}^2}}det(J_r) \]

\[=\frac{\sqrt{P}}{{\sigma}^2} e^{-\frac{P}{2{\sigma}^2}}\centerdot \frac{1}{2\sqrt{P}}=\frac{1}{\overline{P}}e^{-\frac{P}{\overline{P}}} \]

$Pr(r \leq R)=1-e^{-\frac{R^2}{2{\sigma}^2}}$
其中$\overline{P}$是基於瑞利信道的平均接收功率（也就是$\overline{P}=2{\sigma}^2$）

若 $\rho = \frac{R}{\sqrt{2}\sigma}$

則有$Pr(r \leq R) = 1-e^{-\rho^2}$

notice
$\rho$幅值之比，換算dB要是20log()；對於功率是10log()

在瑞利信道中，接收信號功率（信道增益）服從指數分布；
故而，基於接收功率計算中斷率有：

\[Pr(P_r<P_{min})=cdf(P_{min})=1-e^{-\frac{P_{min}}{\overline{P}}} \]

(以上計算均是線性單位)

5.5.1.1 瑞利信道：衰落余量

為了保證不超過x的中斷率

\[Pr(P_r<P_{min})=1-e^{-\frac{P_{min}}{\overline{P}}}<x \]

\[\frac{P_{min}}{\overline{P}}<ln\frac{1}{1-x} \Rightarrow FM = \frac{\overline{P}}{P_{min}}>\frac{1}{ln\frac{1}{1-x}} \]

$\frac{1}{ln\frac{1}{1-x}}$即為中斷率為x的衰落余量[單位線性]
當x足夠小時，有$FM \geq \frac{1-x}{x} \approx \frac{1}{x}$

當同時考慮大尺度和小尺度衰落時，總衰落余量有

\[M[dB] = M_{shadowing}[dB]+M_{Rayleigh}[dB] \]

5.5.2 LOS傳輸：萊斯信道

當信道中存在一個固定的直射分量時，接收信號是復高斯分量和直射分量的疊加，包絡服從萊斯分布。
也就是Rayleigh加了一個視距分量

萊斯系數K

\[K=\frac{A^2}{2{\sigma}^2} \]

其中𝐴為直射信號的幅度,$2{\sigma}^2$為其他非直射分量的平均功率。

5.5.3 Nakagami分布

Nakagami分布包容性高，而同時適用性強，意味着針對性弱。

5.6 理解WSS衰落的時變特性

廣義平穩隨機過程：Wide Sense Stationary, WSS（隨機過程一階矩，二階矩不隨時間t變化）

5.6.1時變信道:多普勒譜

窄帶信道衰落$\beta (t)$的功率譜密度$S_{\beta}(f)$與其自相關函數$A_{\beta}(\Delta t)$構成傅里葉變換對：

\[S_{\beta}(f)=F[A_{\beta}(\Delta t)] \]

多普勒譜是$\beta (t)$在不同多普勒頻率上的功率密度，也可以看做是對應多普勒頻率的概率密度函數。

5.6.2均勻散射環境：Clarke模型

各個多徑分量的幅度為獨立同分布，不存在LOS傳播分量；
散射體密集、均勻分布在各個角度上，到達波從各個方位等概率地到達
$S_{\beta}(f_d)$為窄帶信道增益$\beta (t)$在多普勒域上的功率譜密度,也稱為Jakes譜

當$f^{max}_d \Delta t \approx 0.4$，即$v \Delta t \approx 0.4\lambda$時，自相關值為0。
即在散射體均勻分布的假設下，接收機在運動約半波長的距離后，近似不相關。→ $T_C \approx \frac{0.4}{f^{max}_d}$
與前面信道相干時間的取值等價

5.7 窄帶無線電通信總結

5.8 電平通過與衰落統計

電平通過率(LCR)

電平通過率，定義為瑞利衰落包絡歸一化為本地rms信號電平后，接收信號電平沿正向每秒鍾穿過某一指定門限電平的期望數目，反映了信號電平發生衰落深陷的頻繁程度。

\[N_R=\sqrt{2\pi}f_m\rho e^{-\rho^2} \]

其中$f_m$是最大多普勒頻移，$\rho=\frac{R}{R_{rms}}$是特定電平R相對於衰落包絡的本地rms幅度進行歸一化后的值。

無論是高電平還是低電平通過，都幾乎不可能達到$\rho=\frac{1}{\sqrt{2}}$處（即rms電平下的3dB處）的最大速率。
電平通過率越高，衰落深陷越頻繁，用於描述信道“變差的頻率。

平均衰落持續時間ADF

定義為信號包絡低於某個門限電平值的平均時間，計算是用信號包絡低於某個門限電平的概率與電平通過率之比。

\[\overline{\tau}=\frac{1}{N_R} P_r[r \leq R] \]

\[\overline{\tau}=\frac{e^{\rho^2}-1}{\rho f_m \sqrt{2\pi}} \]

用於描述系統“變差的時長”，經常用於中斷時間的分析。

5.9基於多徑信道的寬帶通信

時變無線信道的通用表示式：