集合枚舉子集-學習筆記

算法

有一個集合，請輸出它的所有子集。

子集，即為被這個這個集合包括的所有集合，包括空集。那么顯然，假如有 \(n\) 個元素，那么有 \(2^n\) 個子集。如何枚舉子集呢？

首先有一個顯然的方法：用 \(2^n\) 的 dfs 枚舉。但這樣有弊端：時空較大，而且比較麻煩。比如一個動態規划，你每次轉移都要跑一遍 dfs ，時空開銷很大，而且處理不方便。那么就有另外一種方法出現：循環枚舉。

首先放代碼：

for(int j=st;j;j=(j-1)&st) j2=st^j;

st 就是要枚舉的集合，j 就是子集，j2 就是 j 相對於 st 的補集。這里我們認為集合是一個二進制數中所有元素 \(1\) ，一個 \(1\) 代表一個元素。這樣為什么是正確的呢？

首先，為了保證枚舉出來的元素都是原式的子集，我們用了 &st 這個位運算操作，因此可以保證。

其次，因為減法和按位與都是不增操作，因此可以保證不重。

那如何保證不漏呢？

模擬一遍過程：st =1101，我們按照循環順序模擬過程。

\(【1】1101\)​

\(【2】1100\)

\(【3】1001\)

\(【4】1000\)

\(【5】0101\)

\(【6】0100\)

\(【7】0001\)

我們假定 \(0000\) 也在元素中，然后按照一定規律排列子集：

\[【1】1101\;\;\; 【5】0101 \]

\[【2】1100\;\;\; 【6】0100 \]

\[【3】1001\;\;\; 【7】0001 \]

\[【4】1000\;\;\; 【8】0000 \]

有沒有發現規律？每一行，后三位都是相同的。所以這個算法的本質算是，對於每一個 \(1\) ，先把這一位設定為 \(1\) 枚舉后面所有位，再把這一位設定為 \(0\) 枚舉一遍，然后再往前面遞歸。因為減 \(1\) 可以看做把最后一個 \(1\) 設定為 \(0\) ，后面所有設定為 \(1\)。這里建議還是自己手玩一下，找一找規律。所以這個算法類似於二進制枚舉，考慮到了所有情況。

這個做法是從大到小枚舉子集，着實十分優美。但要注意的是這種辦法沒法枚舉空集，需要手動計算。

枚舉子集在一些位運算的題目中可能會涉及，而這種方法可以很好地減少代碼復雜度以及時空復雜度，同時也是一種很好的思想。

復雜度證明

空間不管。

時間的話，如果一個集合元素個數為 \(x\) ，復雜度為 \(O(2^x)\)。

有一種特殊情況：枚舉 \(0\) 到 \(2^n-1\) 的所有數的所有子集，此時復雜度即為：

\[\sum_{k=0}^nC_n^k\times 2^k \]

相當於從 \(n\) 個位上選出 \(k\) 個位有值，然后有 \(C_n^k\) 種方案，每種方案 \(2^k\) 。

根據二項式定理：

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i} \]

可得：原式等價於：

\[\sum_{k=0}^nC_n^k\times1^{n-k}\times2^k \]

等價於 \(3^n\) 。復雜度還算是比較優秀的。