量子計算基礎——量子測量

技術背景

在上一篇博客中，我們用矩陣的語言介紹了量子計算中基本量子單元——量子比特，與量子門操作的相關概念。通過對量子態的各種操作，相當於傳統計算機中對經典比特的操作，就可以完成一系列的運算了。但是量子計算的一個待解決的問題是，所有存儲在量子態中的信息是沒辦法從經典世界直接讀取的，只能通過量子測量，使得量子態坍縮到經典比特之后，才能夠在經典世界里進行讀取。

量子測量的矩陣形式

如果通過各種量子門操作構成的量子線路，也稱為量子算法，會使得一個給定的量子態\(\left|\psi_0\right>\)變化到目標量子態\(\left|\psi_t\right>\)。那么以當前時代的量子計算機的條件來說，還沒辦法做到直接在量子態上存儲和讀取信息，只能夠將其坍縮到經典比特上，去獲取測量得到的分布信息，以此來近似為真實的量子態信息。當然，這個過程需要大量的測量。舉一個具體的例子來說，假如我們對一個初始態為\(\left|0\right>\)的量子比特作用一個\(H\)門，那么得到的結果是：

\[H\left|0\right>=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|0\right>+\frac{\sqrt{2}}{2}\left|1\right>=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right) \]

那么最終量子測量所得到的概率應該為\(\left|0\right>:50%,\left|1\right>:50%\)，而我們如果實際去測量的話，以IBM Composer（參考鏈接1）為例，就會得到這樣的采樣（通過量子測量得到經典統計結果的過程，也可以稱之為采樣）結果：

可以看到，采樣得到量子態並不是完全等同於理論預測值，但是也非常的接近，采樣得到\(\left|1\right>\)態的概率約為：49.22%。需要明確的是，這個誤差是來自於測量本身的統計誤差，隨着測量次數的增長，這個誤差會被逐漸的消減。而在真實的量子計算機上面去運行這樣的程序的話，還有可能存在系統誤差、環境誤差等影響，這也是當前的量子計算機還得不到重大應用的根本原因所在。

那么回到我們所講述的量子測量，可以看到在IBM Composer的截圖中，我們在Hadamard門之后加了一個Measure的操作，並且在Measure操作的logo上還帶了一個Z的字母，這表示的是量子測量在Z軸上進行，可以簡單的理解為，把一個布洛赫球上的量子態矢量投影到Z軸上進行讀取，最后得到一個統計的結果，布洛赫球的示意圖如下所示：

如果用數學矩陣來表示的話，Measure在量子計算中使用到了一個Observable觀測量的概念，通過給定測量基，來使得量子態矢量坍縮，我們假定這樣的一組測量基：

\[O_0=\left|0\right>\left<0\right|=\left( \begin{matrix} 1&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)\\ O_1=\left|1\right>\left<1\right|=\left( \begin{matrix} 0&0\\ 0&1 \end{matrix} \right) \]

這里所使用的狄拉克符號，其實就是橫向量與列向量，只是一個物理學上常用的簡寫標記，我們重點關注一下測量基的應用。測量基得到的結果是這樣的形式：

\[P=\left<\psi_t\right|O\left|\psi_t\right> \]

然后把我們上述所得到的量子態矢量與測量基矩陣代入到上面的這個式子中，就可以得到以下的測量結果：

\[P_0=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 \end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\\ P_1=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0&0\\ 0&1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)=\frac{1}{2} \]

這就等同於我們在Z軸的測量基下所計算得的理論預期結果，跟上述IBM Composer所得到的結果是一致的，這就是量子測量的最基本的運算。而在真正的量子算法實現過程中，尤其以近幾年非常熱門的NISQ（Near Term Intermediate Scale Quantum Computing）近期量子算法為例，其用於測量的測量基有依賴於實際的待求解問題，需要在實驗過程中構造非常復雜的測量基，這個就留着后面的NISQ專題再進行介紹。

總結概要

量子的世界與經典的世界存在着信息的隔閡，我們可以通過多個量子比特所構成的量子態去存儲大量的信息，以及進行規模大到經典計算機所無法執行的運算。但是畢竟我們還依然生活在經典的世界中，最終我們還是需要將量子態坍縮到經典比特再進行讀取，而這個使得量子態坍縮的過程，就是一種量子測量的方法。通過大量的量子測量，我們就可以近似的獲得到量子態矢量中所存儲的信息。

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參考鏈接

1. https://quantum-computing.ibm.com/composer/
2. The Basics of Quantum Computing for Chemists. Daniel Claudino.