基礎數學知識

我發現我好菜啊，帶點正經數學的東西就會寄...

1. 三角函數：

1.1 三角函數的定義：

首先是銳角三角函數：

定義：

• \(\sin \theta=\frac{a}{c}\)，即“對邊比斜邊”。

• \(\cos \theta=\frac{b}{c}\)，即“鄰邊比斜邊”。

• \(\tan \theta=\frac{a}{b}\)，即“對邊比鄰邊”。

我們可以把三角函數擴充到任意角：

我們把角放在單位圓（半徑為 \(1\) 的圓）上。

然后角 \(\theta\) 的上面那條射線，和單位圓的交點，我們記作 \(A(x,y)\)，那么 \(\sin \theta=y,\cos \theta=x,\tan \theta=\frac{y}{x}\)。

1.2 常用的三角函數值：

不多說了，貼圖：

1.3 三角函數的性質與運算：

1.3.1

根據三角函數的定義可知，\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)，另外，\(\sin -\theta=-\sin \theta,\cos -\theta=\cos \theta\)。

另外，根據勾股定理可得（看上面的圖那個單位圓）：\(\sin^2 \theta+\cos^2\theta=1\)。

1.3.2 誘導公式

口訣：“奇變偶不變，符號看象限”（都被玩爛了...）

來解釋一下含義，就是研究 \(\frac{k\pi}{2}+\theta\) 的三角函數和 \(\theta\) 的三角函數之間的關系。

• 奇變偶不變：當 \(k\) 是奇數，那么如果以前是 \(\sin \theta\)，就會等於 \(\cos \frac{k\pi}{2}+\theta\)，反之亦然。

• 符號看象限：我們默認 \(\theta\) 為第一象限角，然后看它轉 \(\frac{k\pi}{2}\) 度后所在的那個象限。比如說如果是 \(\sin\)，然后 \(k=2\)，那么最后在第一象限，縱坐標是相反的，所以有 \(\sin \pi+\theta=-\sin \theta\)。

這兩條結合在一起，前半部分決定 \(+\frac{k\pi}{2}\) 后是 \(\sin\) 還是 \(\cos\)，后半部分決定符號。

1.3.3 和差角公式：

我老是背了又忘...直接放公式吧：

• \(\sin (\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)。

• \(\cos (\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)。

• \(\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}\)。

這三個只能記了，沒有別的方法，刷熟練度。至於差角，把 \(-\beta\) 看作 \(+(-\beta)\) 然后根據 1.3.1 去套和角公式就好（不用記符號的變化了嘿嘿）。

有了這個你可以做一道水題：區間加區間sin和

1.4 三角形上的三角函數：

對於 \(\triangle ABC\)，我們記角 \(A,B,C\) 的對邊分別為 \(a,b,c\)。

• \(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\cdot \sin C\)。

• 正弦定理： \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)，其中 \(R\) 是 \(\triangle ABC\) 的外接圓半徑。

• 余弦定理： \(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A\)（變形：\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)）。

2. 向量：

2.1 基本性質：

\(\vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA}\)（通過 \(\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}\) 得到）

判定兩向量共線：兩向量 \(\alpha,\beta\) 共線，當且僅當，存在實數 \(\lambda\)，滿足 \(\alpha=\lambda\beta\)。

判定三點共線：三點 \(A,B,C\) 共線，當且僅當，存在實數 \(\lambda\)，滿足 \(\vec{OA}=\lambda\vec{OB}+(1-\lambda)\vec{OC}\)。

平面向量基本定理：一個平面上，兩個不共線的向量的線性組合可以表示出該平面上全體向量，這兩個向量稱為該平面上的一組基（其實是線代的基本理論吧）。

如果兩個平面向量垂直，那么他們正交。用一組正交向量構成積去表示向量，就是正交分解。

我們可以用 \([a,b]\) 表示一個從 \((0,0)\rightarrow (a,b)\) 的平面向量，顯然平面上向量和實數對一一對應。

2.2 向量乘法：

2.2.1 向量點乘（內積）：

定義 \(a=[a_1,a_2],b=[b_1,b_2]\)，則向量點積定義為 \(a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2\)，我們發現內積是一個標量，不是一個向量。

有趣的是，點積還有一種寫法：\(a\cdot b=|a||b|\cdot \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 是 \(a,b\) 兩向量夾角。

換言之我們得到 \(a_1b_1+a_2b_2=|a||b|\cdot \cos \theta\)。所以我們有時候求 \(\cos \theta\)，可以嘗試把 \(\theta\) 寫成兩個向量的夾角。

向量的內積是有幾何意義的：\(a\cdot b\) 的幾何意義是向量 \(a\) 在向量 \(b\) 上的投影乘上向量 \(b\) 的模長（或向量 \(b\) 在向量 \(a\) 上的投影乘上向量 \(a\) 的模長）。什么叫投影：

\(c\) （注意 \(c\) 是個標量）就是 \(b\) 在 \(a\) 上的投影。

那么我們注意到 \(\cos \theta=\frac{c}{|b|}\)，所以 \(c=|b|\cos \theta\)。那么 \(a\cdot b=|a||b|\cos \theta\) 就是 \(a\) 的模長乘上 \(b\) 在 \(a\) 上的投影。

我們發現研究投影的正負，可以判斷夾角 \(\theta\) 是銳角、直角、還是鈍角，而 \(|b|\) 是正數，乘上后不影響正負性質，換言之我們可以直接通過 \(a\cdot b\) 的值判斷 \(a,b\) 夾角 \(\theta\) 的類別：

• \(a\cdot b\gt 0\Leftrightarrow 0\lt \theta\lt \frac{\pi}{2}\)。

• \(a\cdot b=0\Leftrightarrow \theta=\frac{\pi}{2}\)。

• \(a\cdot b\lt 0\Leftrightarrow \frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \pi\)。

另外，通過向量點乘可以推出 \((\vec{c})^2=|\vec{c}|^2\)，即向量平方數值上就是模長平方。

2.2.2 向量叉乘（外積）：

感覺這個以我水平理解還是有點困難。

定義向量叉積 \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}\)。\(\vec{c}\) 的模長是 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所圍成的平行四邊形面積，即 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cdot\sin \theta\)。

\(\vec{c}\) 會與 \(a,b\) 所在平面垂直（因為都從原點出發，所以不可能異面）。而具體那個方向是遵守右手法則的。就是右手四根手指對向 \(\vec{a}\)，然后你看能否通過彎曲讓這四根手指彎向 \(\vec{b}\)，如果不行就把手上下轉一下。最后拇指朝向的方向就是叉積向量的方向。

內積的運算，該有的乘法運算律都滿足，而叉積不一樣：

• \(\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}\)。

• \(\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}\)。

• \((\lambda\vec{a})\times \vec{b}=\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\times(\lambda\vec{b})\)。

發現沒有結合律，特別需要注意。
另外，還有一個著名的性質：

\(\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})+\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a})+\vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{0}\)。

好像研究代數結構的時候這個性質很有用。先咕了。

另外我們來講講怎么計算叉乘（三維向量）：

就是我們設 \(x,y,z\) 方向的單位向量是 \(i,j,k\)，那么實際上就是計算行列式：

\(\left |\begin{array}{cccc} i &j &k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{array}\right|=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k\)。

然后這個東西可以自然地放在二維去考慮：\(\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}|\vec{b}|\cdot \sin \theta\) 是我們眾所周知的，但是這不意味着二維向量叉乘得到的就是標量，它本質上還是一個向量：只不過兩個向量的第三維都為 \(0\)，所以得到的結果向量的前兩維都是 \(0\)，所以那個虛假的標量實際上代表的是結果向量的 \(z\) 坐標（而 \(x,y\) 坐標就是 \((0,0)\)）。

3. 矩陣

基礎的矩陣加法、乘法，還有高斯消元的內容不再贅述。

3.1. 左行右列定理：

首先，一般地我們記 \(n\) 階單位矩陣為 \(I_{n}\)。考慮一個 \(n\times m\) 矩陣 \(A\)，容易發現，\(I_n\times A=A\times I_{m}=A\)。

我們考慮一個矩陣 \(A\)：

\[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \end{array}\right) \]

我們已經知道了它左邊乘上 \(I_{2}\)，或者右邊乘上 \(I_{3}\)，得到的還是 \(A\)。我們現在把 \(I_{2}\) 的兩行交換一下，然后左乘 \(A\)，看看會發生什么事情：

\[\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll}5 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right)\]

我們發現，結果矩陣中，\(A\) 的兩行也被交換了。我們再把 \(I_{3}\) 的前兩列交換，然后右乘 \(A\)：

\[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 4 \end{array}\right)\]

我們發現，結果矩陣中，\(A\) 的前兩列被交換了。

發現了沒有，乘上單位矩陣是不變的，當我交換單位矩陣的行/列的時候，結果矩陣也變成了 \(A\) 交換行/列的結果。

我們還可以進行類似的嘗試，比如把單位矩陣上某個 \(1\) 改為 \(\lambda\)，然后左乘 \(A\)，那么你會發現對應行是原來 \(A\) 中這一行的 \(\lambda\) 倍。或者說在第 \(2\) 行第 \(1\) 列也寫上一個 \(1\)，變成 \(\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\) 然后左乘 \(A\)，那么我們會發現第一行還是 \(A\) 的第一行，而第二行變成了原本 \(A\) 的第一行加上第二行。

我們可以根據矩陣乘法的定義得到結論，當 \(A\) 左乘一個矩陣后，結果矩陣的每一行，都是 \(A\) 的各行的線性組合；同理當 \(A\) 右乘一個矩陣后，結果矩陣的每一列，都是 \(A\) 的各列的線性組合，也就是所謂的“左行右列”定理。我們試舉一個例子，更好地說明這個事實（這個定理非常重要，一定要理解）：

設 \(A=\left(\begin{array}{ll}1&1&4\\5&1&4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ll}1&9\\1&9\\8&10\end{array}\right)\)，那么考慮 \(A\times B\) 的結果：

\[\left(\begin{array}{ll}34&58\\38&94 \end{array}\right) \]

結果的第一行滿足：

\[\left(\begin{array}{ll}34&58\end{array}\right)= 1\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +1\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +4\times \left(\begin{array}{ll}8&10\end{array}\right)\]

同理，結果的第二行滿足：

\[\left(\begin{array}{ll}38&94\end{array}\right)= 5\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +1\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +4\times \left(\begin{array}{ll}8&10\end{array}\right)\]

換言之，如果 \(A\) 有 \(n\) 行，結果矩陣 \(C\) 就有 \(n\) 行，而第 \(i\) 行就是以 \(A_{i,1},A_{i,2},...,A_{i,m}\) 為權的 \(B\) 的 \(m\) 個行向量的線性組合。
同理，如果 \(B\) 有 \(p\) 列，結果矩陣 \(C\) 就有 \(p\) 列，而第 \(i\) 列就是以 \(B_{1,i},B_{2,i},...,B_{m,i}\) 為權的 \(A\) 的 \(m\) 個列向量的線性組合。

“左行右列”是我們理解矩陣乘法的又一種方式。

我們回到初等行（列）變換，我們發現，一個矩陣 \(A\) 經過一次初等行變換得到的矩陣 \(B\)，那么 \(B\) 的每一行顯然可以都表示成 \(A\) 的行向量線性組合。同理如果矩陣 \(A\) 經過一次初等列變換得到的矩陣 \(B\)，那么 \(B\) 的每一列都可以分別表示成 \(A\) 的所有列向量的線性組合。

所以我們可以通過 \(A\leftarrow C\times A\) 的方法，對 \(A\) 進行行變換。同理可以通過 \(A\leftarrow A\times C\) 的方法對其進行列變換。接下來我們僅討論行變換：

首先，設 \(A\) 為 \(n\) 行 \(m\) 列，那么 \(C\) 應該基於 \(I_{n}\) 得到。如果我們想讓 \(A\) 進行一次行變換，我們把這個行變換執行在 \(C\) 上然后去左乘 \(A\) 即可。

這樣，我們設執行 \(k\) 次，每次的矩陣分別為 \(C_1,C_2,...,C_p\)，那么 \(A\) 可以通過 \(p\) 次矩陣乘法實現 \(p\) 次初等行變換：

\[C_p\times (...\times(C_2\times(C_1\times A))) \]

矩陣乘法具有結合律，可以重新改寫成：

\[(C_p\times (C_{p-1}\times(...\times(C_2\times C_1))\times A \]

左乘一個 \(C_i\)，相當於對被乘矩陣執行一次第 \(i\) 次的行變換。所以上式中那 \(p\) 個矩陣的乘積，相當於單位矩陣，依次執行 \(p\) 次行變換的結果。

說白了就是我們乘矩陣不一定只能達到“一次行變換”的效果，它可以拓展的，不管對 \(A\) 進行多少次初等行變換，你直接按操作的順序，在 \(C=I_{n}\) 上執行相同的變換，最后 \(A\leftarrow C\times A\) 就是行變換后的結果。

這個技巧在 矩陣求逆 模板中就有用到。

應用：利用“左行右列”證明 \((AB)^{T}=B^T\times A^T\)：

我們知道，轉置的意思是，\(A\) 的第 \(i\) 行變成 \(A^T\) 的第 \(i\) 列，\(A\) 的第 \(i\) 列變成 \(A^T\) 的第 \(i\) 行。同時有 \((A^T)^T=A,(A+B)^T=A^T+B^T,(\lambda A)^T=\lambda(A^T)\) 三個性質成立，但是多個矩陣乘積的轉置是不能直接拆開來的，它是倒過來的：\((\prod_{i=1}^{n}A_{i})^T=\prod_{i=n}^{1}A_{i}^T\)，為了證明這個，我們只需要證明 \((AB)^T=B^T\times A^T\)，然后利用矩陣乘法的結合律就可以推廣了。

我們考慮研究 \((AB)^T\) 和 \(B^T\times A^T\) 的每一行是否相等，因為我們容易證明它們至少大小是一致的。

根據左行右列定理：\((AB)^T\) 的第 \(i\) 行 \(\Leftrightarrow\) \(AB\) 的第 \(i\) 列 \(\Leftrightarrow\) 以 \(B\) 的第 \(i\) 列為權，\(A\) 的各列的線性組合。

而 \(B^T\times A^T\) 的第 \(i\) 行 \(\Leftrightarrow\) 以 \(B^T\) 的第 \(i\) 行為權，\(A^T\) 各行的線性組合 $\Leftrightarrow $ 以 \(B\) 的第 \(i\) 列為權，\(A\) 的各列的線性組合。

所以 \((AB)^T\) 和 \(B^T\times A^T\) 的每一行都是相等的，它們自然相等。