LCS問題，即求兩個字符串的最長公共子序列的問題。該問題常用的解法有普通遞歸法和動態規划法。
- 普通遞歸法方法采用了減而治之和分而治之的思想。但該算法存在大量子問題的重復計算，其時間復雜度為指數時間復雜度。
- DP方法使用一個二維數組記錄每個子問題的結果，從而避免了子問題的重復計算，只需要根據一定的次序，如從底向上，從只有一個字符出發，一次填滿該數組，最后的DP[m][n]即為該問題的結果，同時可以根據DP數組將一個解結果還原。其時間復雜度和空間復雜度都為 \(\Theta(mn)\)。
在對DP數組觀察的基礎上，筆者對動態規划法進行了改進。現一個具體實例來講解如何改進動態規划法。
兩個字符串分別為"EDUCATIONAL"和"ADVANTAGE"，求這兩個字符串的最長公共子序列，其DP數組如下圖所示：
可以觀察到最長公共子序列的一個解為DATA，對應的相同的字母，以A為例，是A在第一個字符串和第二個字符串的位置和最小的這個字母，對於剩下的字母也是如此，因此我們可以采用這樣的策略來找到個一個LSC的解，即尋找兩個字符串中相同的字符，記錄下該字符在兩個字符串中的位置，當這兩個位置和最小時，該字符就是最長公共子序列的第一個字符，記錄下這個字符的坐標，用ir和jr表示，第二次循環從ir+1和jr+1處開始搜索，得到最長公共子序列的第二個字符，依次類推。
編寫程序的過程中，需要考慮到重復的字母，這里使用了一個函數來統計該字母在LSC解中，出現的次數，來查找該字母在兩個字符串中的位置。
循環結束的條件是兩個坐標之和有一個初始值minpos，當該minpos的初始值不改變時，說明尋找不到新的滿足條件的字母，則循環終止。其時間復雜度為\(\O(mn*min(n,n))\)，空間復雜度為\(\O(1)\)，程序如下：
// LCS_DP_improve.cpp -- 優化LCS的DP解法，使空間復雜度為常數復雜度，同時得到LCS的組成
// 課后作業3
// 空間復雜度O(1)時間復雜度O(mn*min(m,n))
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
using std::string;
int timeschar(string s, char ch); // 計算ch在s中出現的次數
int searchpos(string s, char ch, int n); // 計算第n個ch出現的位置
int LCS_DP_improve(string A, string B, string & C);
int main()
{
using namespace std;
string str1 = "immaculate";
string str2 = "computer";
string str;
int len = LCS_DP_improve(str1, str2, str);
cout << str << endl;
cout << "Length: " << len << endl;
return 0;
}
int timeschar(string s, char ch)
{
int len = s.size();
int times = 0;
for (int i = 0; i < len; i++)
if (s[i] == ch)
times++;
return times;
}
int searchpos(string s, char ch, int n)
{
int len = s.size();
int timesch = 0;
for (int i = 0; i < len; i++)
if (s[i] == ch)
{
timesch++;
if (timesch == n)
return i;
}
return -1; // 沒有找到，本問題不存在
}
int LCS_DP_improve(string A, string B, string & C)
{
int lenA = A.size();
int lenB = B.size();
int minlen = lenA > lenB ? lenB : lenA; // 計算A和B的最小長度
int ir = -1; // 每次喜歡開始的位置
int jr = -1; // 同ir
string tempA; // 記錄每次尋找的位置
for (int k = 0; k < minlen; k++)
{
int minpos = lenA + lenB; // 記錄相等時最小的x，y的坐標，初始為最大值
char ch; //記錄找到的字母
for (int i = ir + 1; i < lenA; i++)
for (int j = jr + 1; j < lenB; j++)
if(A[i] == B[j])
{
if (minpos > i + j)
{
minpos = i + j;
ch = A[i];
}
}
if (minpos == lenA + lenB) // 終止循環的條件
break;
C.push_back(ch);
int timech = timeschar(C, ch);
ir = searchpos(A, ch, timech);
jr = minpos - ir;
}
return C.size();
}