一.基本概念
數學期望（簡稱期望），是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，它反映了隨機變量平均取值的大小。
對於隨機變量 \(X\)，它有 \(n\) 種可能的取值，取值為 \(x_i\) 的概率為 \(P(x_i)\)，那么它的數學期望 \(E(X)=\Sigma _{i=1}^{n} x_i P(x_i)\)。
舉個例子：給定一個隨機變量 \(X\)，它有六種可能的取值，分別是 \(1,2,3,4,5,6\)，且取每個值得概率是一樣的，那么 \(E(X)=\frac{1}{6}×1+\frac{1}{6}×2+\frac{1}{6}×3+\frac{1}{6}×4+\frac{1}{6}×5+\frac{1}{6}×6=\frac{7}{2}\)。
數學期望可以用加權平均數來理解，可能取值就是初始數據，概率就是每個數的權，此時期望就是加權平均數。
二.性質
設 \(A,B,C\) 為常數， \(X,Y\) 為隨機變量，那么有：
- \(E(C)=C\)；
- \(E(CX)=CE(X)\)；
- \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)；
- \(X,Y\) 互相獨立時， \(E(XY)=E(X)E(Y)\)；
- 結合上列性質，得出 \(X,Y\) 互相獨立時 \(E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y)\)。
三.例題講解
Ybtoj【例題1】單選錯位
P1297 [國家集訓隊]單選錯位
分四種情況討論：
-
\(1.\) 每道題選項個數都相同：設每道題有 \(a\) 個選項，那么選對一道題的概率為 \(\frac{1}{a}\)，所以 \(E(ans)=\frac{n}{a}\)。
-
\(2.\) 對於第 \(i\) 題，當 \(a_i<a_{i+1}\) 時，第 \(i+1\) 題的答案與第 \(i\) 題答案相同的概率為 \(\frac{1}{a_{i+1}}\)，即答對第 \(i+1\) 題的概率為 \(\frac{1}{a_{i+1}}\)，
-
\(3.\) 當 \(a_i=a_{i+1}\) 時，同第 \(2\) 條。
-
\(4.\) 當 \(a_i>a_{i+1}\)，第 \(i\) 題與第 \(i+1\) 題答案相同的概率為 \(\frac{1}{a_i}\)，即答對第 \(i+1\) 題的概率為 \(\frac{1}{a_i}\)。
綜上所述，我們記答對第 \(i\) 題的概率為 \(P(i)\)，期望為 \(E(ans_i)\)。答對一道題，對總答案的貢獻為 \(1\)，因此對於第 \(i\) 題，答對的期望 \(E(ans_i)=P(i)×1=P(i)\)。所以，\(E(Ans)=E(\sum ^{n}_{i=1} ans_i)=\sum ^{n}_{i=1}E(ans_i)=\sum ^{n}_{i=1}P(i)\)。
核心代碼：
a[n + 1] = a[1];
double ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
ans += 1.0 / max (a[i], a[i + 1]);
}
Ybtoj【例題2】期望分數
P1365 WJMZBMR打osu! / Easy
先思考一下，在連續 \(a\) 個 \(o\) 后面再加一個 \(o\)，會對答案產生多少貢獻？
顯然，會多貢獻 \((a+1)^2-a^2=a^2+1+2a-a^2=2a+1\)。
當處理到第 \(i\) 位時，我們可以知道以第 \(i\) 位為結尾的連續 \(o\) 的期望長度，根據 連續 \(o\) 的期望長度，就可以輕松算出期望分數。
核心代碼：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (c[i] == 'o') {
ans += len * 2 + 1;//一定是，累計貢獻。
len++;//同上。
}
else if (c[i] == 'x') {
len = 0;//一定不是，期望長度歸0。
}
else {
ans += (len * 2 + 1) / 2;//有一半的概率不是o，所以要除以2。
len = (len + 1) / 2;//同上。
}
}
Ybtoj【例題3】路徑長度
P4316 綠豆蛙的歸宿
因為已知最終狀態，那么逆推。
設有向邊 \(x\to y\)，那么有 \(f_x=(\frac{1}{deg_x})\Sigma f_y + w_{x\to y}\)。
因為反向建邊，所以我們要把 \(x,y\) 顛倒過來。
核心代碼：
queue <int> q;
q.push (n);
while(!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for(int i=head[u]; i; i = e[i].from) {
int v = e[i].to;
f[v] += (f[u] + e[i].w) / dg[v];
if(--in[v] == 0) {
q.push (v);
}
}
}
四.初賽例題
在一條長度為 \(1\) 的線段上隨機取兩個點,則以這兩個點為端點的線段的期望長度是：
A. 1 / 2
B. 1 / 3
C. 2 / 3
D. 3 / 5
答案：B。
解析：
從 \(0～L\) 任選一點 \(x\),與 \(0\) 到 \(x\) 的線段長度期望為
\(\frac{\int_0^Lx}{L}=(\frac{1}{2}L^2-\frac{1}{2}0^2)/L=\frac{L}{2}\)
於是從 \(0～1\) 任選一點 \(x\)，然后再選一點 \(y\) 與 \(x\) 的構成線段的期望長度為
\([\int_0^1( \frac{1-x}{1}*\frac{1-x}{2}+\frac{x}{1}*\frac{x}{2})]/1\)
\(=\int_0^1( x^2-x-\frac{1}{2})\)
\(=(\frac{1}{3}*1^3-\frac{1}{2}*1^2-\frac{1}{2}*1)-(0)\)
\(=\frac{1}{3}\)
假設一台抽獎機中有紅、藍兩色的球,任意時刻按下抽獎按鈕,都會等概率獲得紅球或藍球之一。有足夠多的人每人都用這台抽獎機抽獎,假如他們的策略均為:抽中藍球則繼續抽球,抽中紅球則停止。最后每個人都把自己獲得的所有球放到一個大箱子里,最終大箱子里的紅球與藍球的比例接近於：
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 1 : 3
D. 1 : 1
答案：D
解析：
設 \(E(x)\) 為抽到第一個紅球之前抽到的藍球個數的期望：
\(E(x)=\frac{1}{2}*0+\frac{1}{2}*(1+E(x))\)
解得\(E(x)=1\)