6 不可判定的問題
6.1 判定問題
- Q: \(HALT(x,y)\)對應什么單參數判定問題？
A:
\(\Pi = (N,Y_\Pi)\)
\(Y_\Pi = \{x|HALT(l(x),r(x))\}\)
注：一元謂詞\(HALT(l(x),r(x))\)不可計算，則\(\Pi\)不可判定。 - Q: 記號\(D_\Pi, P_\Pi, Y_\Pi\)分別是什么？
A: \(D_\Pi\)是待考察判定問題的參數取值范圍（“論域”）
\(Y_\Pi\)是待考察判定問題應當判定為是的元素集合。
\(P_\Pi\)是\(\Pi\)誘導出的\(N\)上謂詞，\(P_\Pi(x)\Leftrightarrow e^{-1}(x)\in Y_\Pi\)，其中\(e^{-1}\)是解碼。我們一般認為編解碼是雙射。 - Q: \(I\in Y_{\Pi_1}\Leftrightarrow f(I)\in Y_{\Pi_2}\)是雙向，那歸約關系為啥不對稱？
A: \(f\)可計算，但\(f\)未必可逆。想判定\(I\in Y_{\Pi_1}\)時，可以能行計算出\(f(I)\)，然而反過來不一定可以能行計算。
所以說此時\(\Pi_2\)解決了\(\Pi_1\)也解決了，\(\Pi_1\)歸約到\(\Pi_2\) - Q: 判定某程序計算的函數是否是全函數為何不是半可判定？
A: 如果其對應整數集\(A\) r.e.則\(A\)是某可計算函數\(g\)值域，則\(\Phi_{g(x)}(y)\)為全函數，且所有的\(g(x)\)對應了所有的全函數。
設\(f(x)=\Phi(x,g(x))+1\)則\(f\)可計算，且\(f(x)\ne \Phi_{g(x)}(x)\)，\(f\)與任意\(\Phi_{g(x)}\)都不同，矛盾。 - Q: 本章的歸約和平時做題常見的歸約有什么異同？
A: 平時是未知歸約到可解。現在是不可判定歸約到未知。
本質是“逆否命題”，即A歸約到B，A不可判定則B不可判定，B可判定則A可判定。
6.2 Turing機的停機問題
- Q: 考察的是不指定接收狀態的TM. DTM \(\mathscr M\)的停機問題一定不可判定嗎？
A: 不一定。注意某個DTM的停機問題是以格局作為單參數的。 - Q: （一般的）TM停機問題如果可判定了，那么存在一個\(f\)是（），使得（）通過\(f\)歸約到此問題，矛盾。
A: 把字符串\(x\)變為格局\(q_1 Bx\)，判斷任意（自然數對應的）r.e.語言中是否有任意字符串。 - Q: 用歸約思想考察：“任給TM \(\mathscr M\)和格局\(\sigma\)，從此開始是否可能到達狀態\(q\)？”不可判定。
A: 對TM \(\mathscr M\)和輸入\(x\)，能行地計算初始格局\(q_1 Bx\)，並能行地計算“誘導出的”新TM \(\mathscr M'\)（新增唯一停機狀態\(q_f\)且增加一系列\(qssq_f\)四元組）
則\(\mathscr M\)對\(x\)停機等價於\(\mathscr M'\)對\(q_1 Bx\)開始能達到狀態\(q_f\).
6.3 字問題和Post對應問題
- Q: 無論對於\(\Sigma(\mathscr M)\)還是\(\Omega(\mathscr M)\)，都可以把（）歸約到文法的字問題。
A: \(\mathscr M\)的停機問題（判斷某字符串是否屬於\(\mathscr M\)接受的語言） - Q: 引入特殊符號\([,],*,\tilde *\)作用是什么？假設存在奇長度派生的作用是什么？
A:
\([,]\)：確保兩端是指定有序對（“骨牌”）（至少，有合題意的子串的兩端是），從而有\(u*,\tilde *v\)結構，以確保\(u\)為起點，\(v\)為終點.
\(*,\tilde *\)：結合兩端出現的\(*,\tilde *\)，歸納地依次出現\((*,\tilde *),(\tilde *,*)\)，從而顯式分割整個字符串。
奇長度派生：確保是\(\tilde * v\)而不是相反的\(*\tilde v\)，避免分類討論。 - Q: 歸約過程中，對於證明原字問題有解等價於新的Post對應問題有解的兩個方向，解\(w\)對應的派生有什么不同？
A: 提示：一個方向是通過已知的奇長度派生手動構造解\(w\)，每個“分割段”恰好對應派生的一步。
另一個方向中對於任何（“剝開了兩側多余”）的解，每個分割段可能對應使用多個產生式，對應派生的若干步（若干個\(g_i\)各自變成\(h_i\)，具體可能是0或1或多個）。只要使用的“區間”“互不重合”即可。
6.4 有關文法的不可判定問題
- Q: 本節和上節有何區別和聯系？
A: 提示：本質上是利用了想要派生出某些字符串的必要條件是能派生出某某（或：某字問題有解） - Q: 如何證明“任給一個（已知\(L(G)\)為有限的）文法\(G\)，\(L(G)\)是否為奇數個元素的集合？”不可判定？
A: 提示：\(T=\{a,b\}\)，\(S\to hq_1 s_0 uh, hq_0 h\to b, S\to a\).
6.5 一階邏輯中的判定問題
- Q: 對於本節中構造出的形式系統，為什么要求論域不能有空串，Thue過程左右側也都不能有空串？
A: 論域有空串則可能會“不斷拼接空串”，造成不便。因為論域沒有空串，\(g_i^\#,h_i^\#\)要作為謂詞的論據也不能有空串。 - Q: 公理中哪些是一般半群的性質？哪些是特有的？
A: 注意出現了等價關系的反身性（1）、傳遞性（2），半群的結合律（4，5），半群中運算良定義（3）。
\(5+i\)則對應了某個特別的Thue過程，且\(^\#\)記號（連續復合二元謂詞表示序列）也是具體的知識。
6 不可判定的問題 習題
- Q: 存在某半Thue系統，“任給字符串是否是定理”不可判定：一種證法是考察特例\(u_0=\)（），從而可以利用上（）。
A: S，之前有關文法的不可判定問題結論
特別注意這個“特例”是原問題的子問題，而有一不可判定的問題可以歸約到此子問題。 - Q: 對只包含一個產生式的半Thue過程字問題，通過（）容易看出停機需要的時間是（潛在）無限長的，故不能直接（用NTM等）模擬解決。必須通過某種更本質的考察。
我們利用算法正確性證明中常用的“考察嚴格單調函數”思想。例如：非負函數嚴格單調減，減至0時一定不能繼續派生，這就說明一定停機。
首先，若\(g,h\)長度不等則至少有一側（正或逆）使得字符串長度（）。
其次，若\(g,h\)長度相等但至少有一個\(g\)中的字符不在（），則（）。
再次，若\(g,h\)只是重排，但有某字符\(a\)的（），則（）。
A: a通過\(a\to aa\)生成\(a^n\)
每次應用產生式時至少減1
\(h\)中，每次應用產生式時該字符的數量至少減1
在\(g\)各個出現位置形成的元組不同於\(h\)中的，每次應用產生式時\(a\)在全字符串中的各個出現位置形成的元組單調變化
注：課本做法也行：關鍵是整個派生過程中（不重復）出現的字符串長度已知為\(|u|\)至\(|v|\)間的整數（含端點），總的可能性有限。 - Q: 如何將一般的Post對應問題歸約到只有2個符號？
A: 二進制編碼 - Q: 習題6.7用字問題歸約直接還是對應問題歸約直接？
A: 對應問題。設想半Thue過程產生式\(aa\to \epsilon\)則\(a\)不能派生\(\epsilon\)但\(aa\)能，這說明不是“同態”。